Задача 3

В правильную треугольную призму вписана сфера радиуса . Найти длину бокового ребра и длину ребра основания (рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 3

Решение

Напомним: то, что призма правильная, означает, что в основании лежит равносторонний треугольник, а боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

То, что в призму можно вписать сферу, означает, что существует точка , равноудаленная от всех граней. Эта точка лежит в биссекторной плоскости двугранного угла с ребром .

Так,

Несложно заметить: .

Чтобы найти длину ребра основания, спроецируем чертеж на плоскость. Тогда призма проецируется в треугольник , в котором задан радиус вписанной окружности. По условию треугольник равносторонний. Рассмотрим треугольник . В нем катет , острый угол равен . В таком случае, второй катет .

Ответ: боковое ребро призмы равно ; ребро основания равно .

Задача 4

Все ребра правильной треугольной призмы равны 1. Найти радиус описанной сферы (рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 4

Решение

Центр описанной сферы лежит в плоскости симметрии ребер и . Точка – центр треугольника . Точка – центр треугольника . Точка – середина отрезка , она равноудалена от всех вершин призмы. Этот факт следует из равенства прямоугольных треугольников , эти треугольники равны по двум катетам.

Так, из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

Пояснение: ; как радиус описанной окружности для правильного треугольника со стороной 1.

Ответ: .