Основные опорные факты
В любой многогранник входят:
- ребра;
- двугранные углы.
Любое ребро многогранника имеет плоскость симметрии, а именно такую плоскость, которая проходит перпендикулярно ребру через его середину (рис. 1).
Рис. 1. Плоскость симметрии ребра
; 
; 
Все точки плоскости симметрии 
равноудалены от вершин ребра – концов отрезка 
. Так, плоскость есть ГМТ, равноудаленных от вершин ребра.
Если все плоскости симметрии ребер многогранника пересекаются в одной точке – эта точка есть центр описанной сферы.
Каждый двугранный угол многогранника имеет биссекторную плоскость – она делит угол пополам (рис. 2).
Рис. 2. Биссекторная плоскость двугранного угла
– ребро, 
Биссекторная плоскость есть ГМТ (геометрическое место точек), равноудаленных от граней двугранного угла
Если все биссекторные плоскости многогранника пересекаются в одной точке – эта точка есть центр вписанной сферы.
Пусть существует вписанная в многогранник сфера с центром в точке 
. Это означает, что все биссекторные плоскости пересеклись в этой точке. Вписанная сфера касается всех граней многогранника, ее центр удален от всех граней на расстояние 
– радиус сферы (рис. 3).
Рис. 3. Вписанная сфера
Пусть существует описанная сфера. Тогда все вершины многогранника лежат на описанной сфере и центр описанной сферы удален от всех вершин на расстояние 
:
Рис. 4. Описанная сфера
Задачи на единичный куб
Задача 1
Найти радиусы вписанной и описанной сфер для единичного куба (рис. 5).
Рис. 5. Иллюстрация к задаче 1
Решение
Точка – середина диагонали 
куба – есть центр вписанной и описанной сфер. Точка равноудалена от всех вершин куба, так как все диагонали куба равны, пересекаются в одной точке и ею делятся пополам. Так, расстояние от точки до вершины куба есть величина постоянная, равная искомому радиусу описанной сферы.
Расстояние 
между плоскостями оснований куба есть диаметр вписанной сферы.
Ответ: 
; 
.
Задача 2
Около единичного куба описана сфера. Найти радиус окружности в сечении сферы плоскостью грани куба (рис. 6).
Рис. 6. Иллюстрация к задаче 2
Решение
Итак, проанализировав условие, требуется найти радиус окружности, описанной около треугольника 
. Плоскость грани рассекает описанную сферу по окружности – ее радиус и нужно найти. Искомым радиусом будет отрезок 
.
Рассмотрим отдельно квадрат 
и описанную около него окружность. Сторона квадрата равна единице по условию, найдем радиус описанной окружности:
Ответ: 
.
Задачи на треугольную призму
Задача 3
В правильную треугольную призму вписана сфера радиуса . Найти длину бокового ребра и длину ребра основания (рис. 7).
Рис. 7. Иллюстрация к задаче 3
Решение
Напомним: то, что призма правильная, означает, что в основании лежит равносторонний треугольник, а боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.
То, что в призму можно вписать сферу, означает, что существует точка 
, равноудаленная от всех граней. Эта точка лежит в биссекторной плоскости двугранного угла с ребром 
.
Так, 
Несложно заметить: 
.
Чтобы найти длину ребра основания, спроецируем чертеж на плоскость. Тогда призма проецируется в треугольник 
, в котором задан радиус вписанной окружности. По условию треугольник равносторонний. Рассмотрим треугольник 
. В нем катет 
, острый угол равен 
. В таком случае, второй катет 
.
Ответ: боковое ребро призмы равно 
; ребро основания равно 
.
Задача 4
Все ребра правильной треугольной призмы равны 1. Найти радиус описанной сферы (рис. 8).
Рис. 8. Иллюстрация к задаче 4
Решение
Центр описанной сферы лежит в плоскости симметрии ребер и 
. Точка – центр треугольника . Точка 
– центр треугольника . Точка – середина отрезка 
, она равноудалена от всех вершин призмы. Этот факт следует из равенства прямоугольных треугольников 
, эти треугольники равны по двум катетам.
Так, из прямоугольного треугольника 
по теореме Пифагора:
Пояснение: 
; 
как радиус описанной окружности для правильного треугольника со стороной 1.
Ответ: 
.
Вывод
Итак, мы рассмотрели задачи на комбинацию призмы и сферы, вписанной и описанной. В следующем уроке будут рассмотрены задачи на комбинацию круглых тел.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-сайт InternetUrok.ru (Источник)
2. Интернет-сайт InternetUrok.ru (Источник)
3. Интернет-сайт terver.ru (Источник)
4. Интернет-сайт mathematics.ru (Источник)
Домашнее задание
1. Можно ли вписать/описать сферу около шестиугольной призмы? В каких случаях это возможно?
2. Найти радиус описанной сферы для прямоугольного параллелепипеда с измерениями 5, 11, 7.
3. Сфера описана около четырехугольной призмы 
. Двугранные углы при ребрах 
и 
соответственно равны 
и 
. Найти величины двугранных углов при ребрах и 
.
Список литературы
1. Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.
2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7–11 кл. общеобразовательных учреждений /Б.Г. Зив, В.М. Мейлер. – М.: «Просвещение», 2003–2008.
3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10–11 кл. /Е.М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003. – М.: «Илекса», 2003.
4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. / А.И. Ершова, В.В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.
5. Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011.
6. Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф.Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: «Легион», 2008.
