Определение сферы и основные формулы
Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Такая точка называется центром сферы, расстояние от данной точки до всех точек – радиусом сферы.
Рис. 1. Сфера в координатной плоскости
Запишем уравнение сферы, для этого построим оси координат (рис. 1). Точка 
– центр сферы, R – радиус сферы, то есть расстояние от точки 
до произвольной точки 
, лежащей на сфере.
Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Шар описывается следующим неравенством: 
.
Площадь сферы находится по формуле: 
.
Объём шара: 
.
Касательная и секущая плоскость, их свойства
Рассмотрим касательную плоскость к сфере. Плоскость α называется касательной к сфере, если она со сферой имеет только одну общую точку (точку касания) (рис. 2).
Рис. 2. Касательная плоскость к сфере
Плоскость является касательной к сфере тогда и только тогда, когда радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен к плоскости: 
.
Рассмотрим секущую плоскость. Построим сферу и оси координат (рис. 3). Плоскость, перпендикулярная оси z и проходящая через точку 
рассекает плоскость по окружности. Докажем это.
Рис. 3. Секущая плоскость
Запишем систему уравнений, состоящую из уравнения сферы (центр сферы – начало координат) и перпендикулярной оси z плоскости: 
.
Подставим z в первое уравнение: 
. Получили формулу окружности.
Секущая и касательная прямая и их свойства
Дана сфера и точка A вне сферы (рис. 4). AT – касательная прямая к плоскости, AB – секущая прямая (точки C и B – общие для сферы и для прямой AB), AC – внешняя часть секущей AB; 
– секущая прямая, 
её внешняя часть.
Рис. 4. Секущая и касательная прямая
Запишем теорему для секущих и касательных прямых к сфере: произведение секущей на внешнюю часть есть величина постоянная, равная квадрату касательной – 
.
Задача 1 (нахождение касательной к сфере)
Дано: 
; 
(рис. 4).
Найти: 
.
Решение:
Найдём внешнюю часть касательной.
По теореме о секущих и касательных прямых: 
.
l
Ответ: 
.
Задача 2 (определение уравнения сферы и нахождение радиуса окружности в сечении этой сферы)
2.1. Напишите уравнение сферы с центром в точке 
радиуса 
.
Решение:
Уравнение сферы в общем виде: , где (a;b;c) – координаты центра сферы.
Следовательно, уравнение данной нам сферы выглядит так: 
.
Ответ:.
2.2. Найдите радиус окружности в сечении данной сферы плоскостью (xy).
Решение:
Уравнение данной сферы , а уравнение плоскости (xy) – это 
.
Подставляем в первое уравнение значение z: 
.
Получили уравнение окружности в сечении данной сферы, следовательно, радиус этой окружности равен 4.
Ответ: 4.
Задача 3 (нахождение радиуса сферы и координат центра сферы)
Найдите координаты центра и радиус сферы 
.
Решение:
Решение будет осуществляться с помощью выделения полного квадрата.
Получили уравнение сферы, из которого видим, что координаты центра сферы 
, а радиус сферы равен 
.
Ответ:; .
Задача 4 (нахождение расстояния от центра сферы до плоскости)
Дано: точки A, B, C лежат на сфере радиуса 13; 
.
Найти: расстояние от центра сферы до плоскости ABC.
Решение
Рис. 5. Иллюстрация к задаче №4
На рис. 5 изображены данные нам элементы. 
– радиус сферы (O – центр сферы). Стороны получившегося 
нам известны. Мы получили пирамиду, у которой все рёбра известны, нужно найти расстояние от точки O до плоскости ABC.
OH – искомое расстояние, то есть высота пирамиды, найдём место расположения точки H. Мы получили три равных прямоугольных треугольника: 
(по катету OH и гипотенузе). Следовательно, 
, то есть точка H – центр описанной около окружности. прямоугольный, так как 
.
Центр описанной окружности прямоугольного треугольника – середина гипотенузы, следовательно, точка H – середина AB и высота проектируется в эту точку.
Из прямоугольного 
, по теореме Пифагора, найдём OH: 
.
Ответ: 
.
Подведение итогов урока
На данном уроке мы рассмотрели сферу, решили задачи на нахождение элементов этого круглого тела.
Список рекомендованной литературы
- Геометрия: учеб. для 10 – 11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.
- Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7 – 11 кл. общеобразовательных учреждений /Б.Г. Зив, В.М. Мейлер – М.: «Просвещение», 2003 – 2008.
- Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10 – 11 кл. /Е.М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003..
- Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А.И. Ершова, В. В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.
- Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011.
- Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф.Ф. Лысенко – Ростов-на-Дону: «Легион», 2008.
Домашнее задание
- Учебник Атанасяна Л.С. (см. список рекомендованной литературы), задача № 582, 580, 578.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
