Классы
Предметы

Круглые тела. Цилиндр. Конус

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Круглые тела. Цилиндр. Конус

На этом уроке мы вспомним основные сведения о цилиндре и конусе, решим типовые задачи на них.

Основные сведения о цилиндре

Цилиндр – тело вращения, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны.

Рис. 1. Цилиндр

Прямоугольник  (рис. 1) будем вращать относительно прямой , каждая точка отрезка  опишет окружность радиуса r, таким образом мы получим цилиндр.

Прямоугольник задают два элемента, например сторона  и сторона . Так же и цилиндр задают два элемента  – радиус цилиндра,  – образующая цилиндра, равная высоте цилиндра ().

Если развернуть цилиндр, то получим прямоугольник (рис. 2), у которого одна сторона равна  (длина окружности основания), а другая сторона равна  (высота цилиндра).

Рис. 2. Развернутый цилиндр

Площадь боковой поверхности цилиндра равна:

 

Площадь основания цилиндра:

 

Площадь полной поверхности цилиндра:

 

Объём цилиндра находим по формуле:

 

Задача 1 (нахождение высоты и радиуса основания цилиндра

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен . Найти: а) высоту цилиндра; б) радиус основания цилиндра.

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Дано: ;  (рис. 3)

Найти: а) ; б)

Решение:

В осевом сечении цилиндра лежит прямоугольник , в котором сторона  – высота цилиндра;   – диаметр основания цилиндра.

Рассмотрим прямоугольный треугольник . В нём заданы два элемента: гипотенуза  и , следовательно:

а)

 см

б)

 

 

  см

Ответ: а) ;  б)  см

Основные сведения о конусе

Конус – тело вращения, которое получается в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг его катета.

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Прямоугольный треугольник  (рис. 4) вращаем около прямой BO (катета треугольника), получаем фигуру, которая называется конусом.

Треугольник задаётся двумя элементами, например катетом и гипотенузой, этих же элементов достаточно, чтобы задать конус.

Катет   – радиус основания конуса, катет   – высота конуса, гипотенуза   – образующая конуса. Между этими величинами связь по теореме Пифагора:

 

Если развернуть конус, то получим сектор (рис. 5) радиус сектора – это образующая l конуса, длина дуги сектора равна  – это длина окружности основания.

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади сектора:

 

В основании конуса лежит круг, следовательно, площадь основания конуса равна:

 

Объём конуса находим по формуле:

 

Задача 2 (нахождение площади осевого сечения конуса)

Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник. Найти площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен 5 см.

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Дано: ;  (рис. 6)

Найти:

Решение:

Так как в осевом сечении всегда лежит равнобедренный треугольник, то  – прямоугольный равнобедренный треугольник (). Следовательно, .

Медиана SO в прямоугольном треугольнике, опущенная из прямого угла, равна половине гипотенузы:

 

Так как треугольник равнобедренный, то медиана равна высоте, следовательно:

 

Площадь треугольника  равна:

 

 

Ответ:

Основные сведения о усечённом конусе

Если провести сечение конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса, то эта плоскость разбивает конус на две части, одна из которых – конус, а другую часть называют усечённым конусом (рис. 7).

Рис. 7. Усеченный конус

Верхнее основание усечённого конуса – окружность радиусом r, нижнее основание усечённого конуса – окружность радиусом R.  – высота усечённого конуса.  – образующая конуса.

Осевое сечение усечённого конуса – равнобедренная трапеция, где l – боковые стороны трапеции (рис. 8).

Рис. 8. Трапеция

Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна:

 

Объём усечённого конуса находим по формуле:

 , где  – площадь верхнего основания усечённого конуса,  – площадь нижнего основания усечённого конуса.

 

Задача 3 (нахождение образующей усечённого конуса)

Найти образующую усечённого конуса, если радиусы оснований равны 3 см и 6 см, а высота равна 4 см.

Дано: ; ;  (рис. 7).

Найти:l

Решение:

Осевое сечение усечённого конуса – равнобедренная трапеция (рис. 9), в которой нам нужно найти боковую сторону.

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

Рассмотрим . Он получается путём опускания перпендикуляра из точки  на AC. В  известен катет :

  см

Катет :

  см.

По теореме Пифагора находим гипотенузу , которая будет равна образующей конуса.

 

 см

Ответ:  см

Подведение итогов урока

На данном уроке мы рассмотрели цилиндр и конус, решили задачи на нахождение элементов этих круглых тел.

 

Список литературы

  1. Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.
  2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7–11 кл. общеобразовательных учреждений /Б. Г. Зив, В. М. Мейлер. – М.: «Просвещение», 2003–2008.
  3. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10–11 кл. /Е. М. Рабинович – Харьков: «Гимназия», 2003, М.: «Илекса», 2003.
  4. Геометрия. 10 кл. Самостоятельные и контрольные работы. /А. И. Ершова, В. В. Голобородько – М.: «Илекса», 2008.
  5. Математика. ЕГЭ – 2011. Тематические тренировочные задания./В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина – М.: «Эксмо», 2011.
  6. Математика. ЕГЭ – 2009 /Ф. Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: «Легион», 2008.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Tutoronline.ru (Источник).
  2. Clck.ru (Источник).
  3. Math24.ru (Источник).
  4. Slideshare.net (Источник).

 

Домашнее задание

  1. Площадь осевого сечения конуса равна 0,6 . Высота конуса равна 1,2 см. Вычислите площадь полной поверхности конуса.
  2. Длина окружности основания цилиндра равна 1. Площадь боковой поверхности равна 2. Найдите высоту цилиндра.
  3. Осевое сечение конуса – равносторонний треугольник со стороной 10 см. Найти радиус основания и высоту конуса.
  4. В усеченном конусе отношение площадей оснований равно 4, образующая имеет длину l и составляет с плоскостью большего основания угол γ. Найти объем усеченного конуса.