Геометрия. 11 класс

Тема урока: Расстояние от точки до плоскости

Тер-Ованесян Г.Л., учитель высшей категории, лауреат премии Фонда Сороса

г. Москва

2011 г.

Рассмотрим следующую задачу.

Рисунок

Пусть нам дана правильная треугольная призма АВСА₁В₁С₁. В основании лежит правильный треугольник АВС, сторона которого равна √3, а боковое ребро призмы АА₁ тоже равно √3: АВ=√3=АА₁. Нужно найти расстояние от точки В до плоскости АА₁С₁С: ρ(В;АСС₁) – ?

Возьмём точку К – середина отрезка АС. Поскольку треугольник АВС является равносторонним, то ВК – это медиана, она же и высота в этом треугольнике. Выясним, что это за отрезок ВК, который мы построили. Во-первых, он перпендикулярен АС: ВК┴АС, поскольку это высота. Кроме того, ВК лежит в плоскости нижнего основания, и значит, перпендикулярен прямой АА₁. Поскольку АА₁ перпендикулярна всей плоскости АВС, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности, прямой ВК: ВК┴АА₁. Таким образом, ВК перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости АА₁С₁С. Значит, ВК┴АА₁С₁С. То есть расстояние от точки В до плоскости АСС₁ есть длина отрезка ВК: ρ(В;АСС₁)=ВК

После того как мы его построили, найдём длину этого отрезка. Для этого рассмотрим треугольник АВС. Он равносторонний, значит, АВ=√3, АК=√3/2. И в треугольнике АВК по теореме Пифагора мы можем найти ВК:

ВК=√(АВ²-АК²) = √(3-3/4)=3/2=1,5

Рассмотрим следующую задачу.

Рисунок

Пусть нам дан тетраэдр, в котором все ребра равны 1, и проведено сечение. Нужно найти расстояние от вершины тетраэдра до плоскости сечения. То есть нам дан тетраэдр АВСD. Причём все ребра равны 1: АВ=ВС=СD=AD=1. На ребре DC взяли точку Е – середину этого ребра. Требуется найти расстояние от точки D до плоскости АВЕ: ρ(D;АВЕ) – ?

Рассмотрим сначала треугольник DВС. Он равносторонний, поэтому ВЕ, которая является медианой, будет являться и высотой. Значит, ВЕ┴DC. Аналогично в треугольнике АСD – АЕ – медиана является высотой. Значит, АЕ┴DC. Таким образом, получили, что прямая DC┴АЕ┴ВЕ, то есть перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости АВЕ. Следовательно, прямая DC перпендикулярна и самой плоскости АВЕ: DC┴АВЕ. Значит, DE – это перпендикуляр на плоскость АВЕ: DE┴АВЕ. А расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из точки, в данном случае из точки D, на нашу плоскость, в данном случае АЕВ. Таким образом, расстояние, которое нам надо найти – это длина отрезка DE. Но DE – это половина ребра, то есть ½:

ρ(D;АВЕ)=DE=½

Рассмотрим еще одну задачу на нахождение расстояния от точки до плоскости.

Рисунок

Пусть нам дана правильная четырехугольная пирамида ABCDS. В основании её лежит квадрат со стороной 1, и боковые ребра тоже равны 1: АВ=SD=1. Нужно найти расстояние от точки В до плоскости АСЕ, где Е – середина ребра SB: ρ(В;АСЕ) – ?

Для того чтобы найти расстояние от точки до плоскости, мы должны из точки В опустить перпендикуляр на плоскость АСЕ. Этот перпендикуляр будет лежать в плоскости, перпендикулярной плоскости сечения. Такая плоскость у нас есть, это плоскость ВDS. Она перпендикулярна плоскости АСЕ, поскольку перпендикулярна ВD и АС. ОЕ – линия пересечения этих двух плоскостей. Значит, перпендикуляр, опущенный из точки В на плоскость АСЕ, попадёт на отрезок ОЕ. При этом я не знаю о том, попадет ли он внутрь этого отрезка или попадёт на прямую ОЕ. Но меня это и не интересует, потому что мне нужно найти длину отрезка, то есть длину перпендикуляра. Таким образом, наша задача свелась совсем к другой. Мне нужно найти расстояние от точки В до прямой ОЕ. Для этого посчитаем элементы в этой пирамиде.

ОВ – это половина диагонали квадрата АВСD: ОВ=√2/2.

SO – высота пирамиды – находится из теоремы Пифагора:

SO=√(SB²-OB²)=√(1-1/2)=1/√2

Отрезок ЕN, который параллелен SO, это есть половина SO, поскольку EN отсекает равные отрезки на ребра SB и ОВ: EN= ½ SO= 1/(2√2)

ON – половина отрезка ОВ, то есть: ON= ½ ОВ= √2/4

И можем найти отрезок ОЕ из прямоугольного треугольника ОNЕ. По теореме Пифагора ОЕ=√(EN²+ON²)=1/2

После того как мы нашли все эти отрезки, мы можем написать формулу для нахождения площади треугольника ОЕВ. S_∆_ОЕВ= ½ EN*OB= ½ BK*OE

Подставив найденные нами числа, мы получим уравнение, в которое входит только ВК – перпендикуляр к прямой ОЕ:

½ *1/(2√2)* √2/2= ½ ВК* ½

ВК=1/2

Мы решили эту задачу, будто у нас была произвольная четырехугольная правильная пирамида. Такое решение вполне допустимо. То есть вполне допустимо искать вместо расстояния от точки до плоскости расстояние от точки до прямой, которая является линией пересечения.

Но в данной конкретной задаче можно было сделать всё гораздо проще. Если заметить, что треугольник SBC равносторонний, значит, СЕ – не только медиана, но и высота, и АЕ – не только медиана треугольника SAВ, но и высота. И значит, SB будет перпендикулярна плоскости АСЕ. А значит, расстояние от точки В до плоскости АСЕ – это длина отрезка ВЕ, то есть половина бокового ребра, то есть ½. И получается, что на нашем рисунке точка К совпадает с точкой Е.

Сегодня на уроке мы решили несколько задач на нахождение расстояния от точки до плоскости.