Расстояние от точки до прямой

ГЕОМЕТРИЯ 11 КЛАСС

Тема урока:

Расстояние от точки до прямой

Тер-Ованесян Геворк Левонович
учитель высшей категории, лауреат премии Фонда Сороса г. Москва

2011

Рассмотрим следующую задачу.

Рисунок

Пусть дана правильная треугольная призма АВСА₁В₁С₁. В основании лежит правильный треугольник АВС, сторона которого равна √7, а боковое ребро призмы АА₁ тоже равно √7: АВ=√3=АА₁. Требуется найти расстояние от точки В до прямой А₁С₁: ρ(В;АС₁) – ?

Возьмем точку К₁ – середину ребра А₁С₁. Рассмотрим треугольник А₁ВС₁ – он равнобедренный, поскольку отрезки А₁В и ВС₁ – диагонали квадратов АА₁В₁В и С С₁В₁В. Квадраты равны, значит, диагонали у них равны, следовательно, треугольник А₁С₁В – равнобедренный. Значит ВК₁ является не только медианой, но и высотой в этом треугольнике.

А₁В=ВС₁ => ВК₁┴А₁С₁

Поскольку расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, следовательно, расстояние, которое нас спрашивают – это длина отрезка ВК₁.

Для того чтобы его найти рассмотрим треугольник А₁К₁В – он прямоугольный, значит, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. Для этого сначала найдем гипотенузу ВА₁ – это диагональ квадрата и равна:

ВА₁=√(АВ²+АА₁²)= √14

А₁К₁ – это половина ребра А₁С₁ и равно:

А₁К₁= ½ А₁С₁=√7/2

Осталось написать теорему Пифагора и найти катет ВК₁:

ВК₁=√(А₁В²+А₁К₁²)= √(14-7/4)= ½ √49= 3,5

Рассмотрим еще одну задачу.

Рисунок

Пусть нам дана правильная четырехугольная пирамида ABCDS, у которой сторона основания равна 1 и боковое ребро тоже равно 1: АВ=1=АS. Нужно найти расстояние от точки В до ребра SD: ρ(В;SD) – ?

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Рассмотрим плоскость SDB и опустим в этом треугольнике перпендикуляр ВК. Мы не знаем, куда попадет точка К, то есть где находится основание перпендикуляра. Но у нас это и не спрашивают. Нас только спрашивают длину отрезка ВК. Поэтому мы можем не выяснять место положение точки К, а поступить следующим образом.

Найдем сначала все нужные нам элементы в треугольнике DSB:

DS=SB=1 нам даны,

ВD – диагональ квадрата, лежащего в основании: ВD=√2

Рассмотрим треугольник ВОS. В нем ОВ – это половина диагонали квадрата:

ОВ= ½ ВD=√2/2

SO – высота пирамиды по теореме Пифагора будет:

SO=√(SB²-ОВ²) =√(1²- ½ ²)= 1/√2

Теперь можно рассмотреть треугольник ВСD. Запишем его площадь двумя способами. С одной стороны – это полу произведение основания BD на высоту SO. А с другой стороны – это полу произведение основания SD на высоту ВК. Если в это равенство подставим все известные нам величины, а именно: BD, SO и SD, то мы получим уравнение, в котором нам не известно только ВК:

S_BSD= ½ BD*SD= ½ BK*SD

½ *√2 * 1/√2= ½ BK*1

BK=1

Если бы нас спросили место положение точки К, то теперь мы можем легко ответить на этот вопрос, поскольку мы знаем и ВК и BD, и могли бы найти DK по теореме Пифагора. Но поскольку нас спрашивают только расстояние, то оно равно 1. 

Рассмотрим еще одну задачу на нахождение расстояния от точки до прямой.

Рисунок

Пусть нам дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно 1. АВ=1. Нужно найти расстояние от вершины нижнего основания до диагонали куба: ρ(В;СА₁) – ?

Поскольку расстояние – это длина перпендикуляра, опущенного из точки В на прямую СА₁, то мы составим треугольник СВА₁ и перпендикуляр ВК. Мы не знаем, где находится точка К, зато мы можем определить вид треугольника СВА₁. Прямая CВ перпендикулярна плоскости АА₁В₁В и значит перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности и прямой ВА₁. Следовательно, треугольник ВА₁С – прямоугольный и угол А₁ВС=90°. Найдем элементы этого треугольника. ВА₁ – диагональ квадрата, ВС нам известна, а гипотенуза СА₁ находится по теореме Пифагора:

ВА₁=√2, ВС=1

А₁С=√(2+1)=√3

Теперь запишем площадь этого треугольника двумя способами: как полу произведение катетов и как половина произведения гипотенузы на высоту:

S_BА1С= ½ BА₁*ВС= ½ А₁С*ВК

Получаем равенство, и если мы в это равенство подставим известные нам величины, то получим уравнение, в котором мы не знаем только ВК.

½ *√2 * 1= ½ √3 *BK

ВК=√2/√3=√6/3

Сегодня на уроке мы вспомнили, как находить расстояние от точки до прямой, расположенных в пространстве.