Геометрия. 11 класс

Тема урока: Угол между скрещивающимися прямыми

Тер-Ованесян Г.Л., учитель высшей категории, лауреат премии Фонда Сороса

г. Москва

2011 г.

Рассмотрим задачу на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.

Рисунок

Пусть нам дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁. Нужно найти угол между прямыми ВА₁ и В₁С. Для того чтобы построить угол между скрещивающимися прямыми, нам нужно построить угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны каждой из данных прямых. Для этого зафиксируем одну прямую, в данном случае ВА₁. А вторую прямую В₁С будем параллельно переносить до пересечения с прямой ВА₁. Таким образом, перенеся В₁С в плоскость АDD₁А₁, мы получим прямую А₁D, которая параллельна прямой В₁С и которая пересекается с прямой ВА₁. Значит, угол между прямыми ВА₁ и СВ₁ – это угол между прямыми ВА₁ и А₁D, то есть угол DА₁В.

Для того чтобы найти этот угол, рассмотрим треугольник DВА₁. Этот треугольник равносторонний, поскольку стороны его – диагонали квадрата. А в кубе все грани равны. Значит, квадраты равны, и диагонали у них одинаковые. Следовательно, угол равен 60°:

<(АВ;В₁С₁)= <(АВ;А₁D)= <ВА₁D=60°

В этой же задаче можно было бы наоборот зафиксировать прямую В₁С, а прямую ВА₁ перенести и рассматривать треугольник В₁СD₁ с тем же успехом.

Рассмотрим еще одну задачу на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.

Рисунок

Пусть нам дан правильный тетраэдр АВСD и известны середины рёбер. Нужно найти угол между отрезком EF, соединяющим середины ребер ВС и ВD, и стороной АВ.

Поскольку тетраэдр правильный, значит, и высота DO проектируется в центр треугольника АВС. И в основании лежит правильный треугольник.

Для того чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, нужно попробовать сделать параллельный перенос. Но если мы будем параллельно переносить прямую EF, то есть точку Е совмещать с точкой В, то прямая будет вне пирамиды. И составить треугольник, в который входит угол между этими прямыми, очень неудобно. Поэтому мы поступим следующим образом. Мы EF параллельно перенесем к DC.

Заставка на экране:

EF – средняя линия ∆СВD, поэтому EF ║СD

То есть угол между прямыми АВ и EF – это угол между прямой АВ и СD. Но поскольку пирамида правильная, то мы знаем, что угол между ними, то есть угол между ребром СD и противолежащим углом основания АВ, равен 90°. Мы это уже доказывали не раз, докажем это ещё раз.

DO – перпендикуляр к плоскости (АВС). СD – наклонная. CO – проекция этой наклонной. И эта проекция перпендикулярная прямой АВ. А значит, по теореме о трех перпендикулярах, и наклонная DC тоже перпендикулярна прямой АВ. Значит, угол между прямыми DC и АВ равен 90°. А значит, угол между прямыми EF и АВ тоже равен 90°:

<(EF;АВ)= <(DC;AB), DO┴АВС

ОС – наклонная, СК – проекция.

СК┴АВ => АВ┴CD => <(DC;AB)=90°

Сегодня на уроке мы решили несколько задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.