Дано: – правильная треугольная призма;.

Найти: , расстояние между прямыми BA₁ и AC₁(рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Решение

Призма, по условию, правильная, то есть такая, что в ее основании лежит равносторонний треугольник и боковые ребра перпендикулярны основанию.

1. Найдем = (BA₁, AC₁).

Прямые BA₁ и AC₁– скрещивающиеся (по признаку скрещивающихся прямых).

1. Введем «удобную» тройку некомпланарных векторов. Таковой является тройка векторов, исходящих из вершины А:

, ,

Видим, что

, потому что ребра и перпендикулярны плоскостям AA₁C₁C и ABC соответственно.

, потому что вектор принадлежит треугольнику в основании, который является правильным треугольником, следовательно, все его углы – .

2. Составим таблицу скалярных произведений:

Составим таблицу скалярных произведений:

3. Выразим векторы и через тройку некомпланарных векторов , , :

, .

4.

Вычислим числитель. Для этого раскроем скобки:

Получаем

Ответ: .