Напоминание теории: пример из физики
Задача на углы и расстояния очень часто используется в разных экзаменах, зачаcтую это задачи на углы и расстояния между скрещивающимися прямыми. В этих задачах хорошо использовать скалярное произведение векторов.
Рис. 1. Иллюстрация к примеру
– рельсы, по которым движется тележка, 
– сила, действующая под углом 
к рельсам, сместила груз на расстояние 
Пример: посчитать, какую работу проделала сила.
Дано: вектор перемещения и вектор силы .
Решение: не вся сила проделала работу, а только ее часть – проекция на . Эту проекцию легко найти: катетOP. Он равен произведению гипотенузы на косинус прилежащего угла.
, где – это угол между векторами.
Таким образом, работа 
.
Поэтому в математике ввели операцию скалярного умножения векторов
Напоминание теории: скалярное произведение, свойство скалярного произведения
Рис. 2. Угол между векторами
Скалярным произведением двух векторов 
и 
называется:
, где
– угол между векторами (рис. 2).
Получившееся число характеризует взаимное расположение векторов.
Два ненулевых вектора перпендикулярны, когда 
(угол между векторами равен 90
).
Свойство 1: два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0 (рис. 3).
Рис. 3. Иллюстрация к свойству
Формула нахождения длины вектора: 
.
Формула нахождения угла между двумя векторами:
Решение первой части задачи, нахождение угла между векторами
Дано: 
– правильная треугольная призма;
.
Найти: 
, расстояние между прямыми BA1 и AC1 (рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация к задаче
Решение
Призма, по условию, правильная, то есть такая, что в ее основании лежит равносторонний треугольник и боковые ребра перпендикулярны основанию.
1. Найдем = 
(BA1, AC1).
Прямые BA1 и AC1– скрещивающиеся (по признаку скрещивающихся прямых).
1. Введем «удобную» тройку некомпланарных векторов. Таковой является тройка векторов, исходящих из вершины А:
, 
, 
Видим, что 
, потому что ребра 
и перпендикулярны плоскостям AA1C1C и ABC соответственно.
, потому что вектор принадлежит треугольнику в основании, который является правильным треугольником, следовательно, все его углы – 
.
2. Составим таблицу скалярных произведений:
Составим таблицу скалярных произведений:
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
0 |
|
1 |
3. Выразим векторы 
и 
через тройку некомпланарных векторов , , 
:
, 
.
4. 
Вычислим числитель. Для этого раскроем скобки:
Получаем 
Ответ: 
.
Решение второй части задачи, нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми
2. Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми BA1 и AC1.
Расстояние между скрещивающимися прямыми – это длина их общего перпендикуляра.
Вводим отрезок PQ, это и есть общий перпендикуляр, и его концы лежат на прямых. Его длину и требуется найти.
1. 
, 
Каждое слагаемое выразим через тройку некомпланарных векторов.
Выразим вектор 
: векторы 
и коллинеарные, а значит, существует λ, такая, что 
. Векторы 
и также коллинеарные, а значит, существует µ, такое, что 
. (Рис. 5).
Рис. 5. Иллюстрация к задаче
Выразим 
через две новые неизвестные λ и µ:
Получаем:
Раскрывая скобки и приведя подобные члены, выражаем вектор через векторы , и 
:
2. Вектор перпендикулярен вектору и вектору , а значит:
Подставим:
Раскроем скобки, используя таблицу скалярных произведений:
3. Зная 
и 
мы можем найти :
4. Найдем длину :
= =
По формуле 
С помощью таблицы скалярных произведений получаем:
Ответ: 
– искомое расстояние.
Повторение пройденного на уроке
Еще раз повторим схему решения:
- Вводим перпендикуляр PQ – общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым.
- Выражаем этот перпендикуляр через тройку некомпланарных векторов, при этом вводим два новых неизвестных параметра μ и , позволяющих зафиксировать точки P и Q.
- Находим выражение PQ через μ и .
- Находим µ и и выражаем PQ через конкретные числа и находим PQ как корень из скалярного квадрата, используя таблицу скалярных произведений.
Вывод
Мы рассмотрели векторный метод решения задач.
Список литературы
- Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.
- Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7–11 кл. общеобразовательных учреждений /Б.Г. Зив, В.М. Мейлер – М.: «Просвещение», 2003–2008.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Стр. 116 № 441 (а, б), № 455 (а). (Геометрия: учеб. для 10–11 кл., Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.)
