Векторы. Решение более сложных задач

Напоминание теории: пример из физики

Задача на углы и расстояния очень часто используется в разных экзаменах, зачаcтую это задачи на углы и расстояния между скрещивающимися прямыми. В этих задачах хорошо использовать скалярное произведение векторов.

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

 – рельсы, по которым движется тележка,  – сила, действующая под углом  к рельсам, сместила груз на расстояние

Пример: посчитать, какую работу проделала сила.

Дано: вектор перемещения  и вектор силы .

Решение: не вся сила проделала работу, а только ее часть – проекция  на . Эту проекцию легко найти: катетOP. Он равен произведению гипотенузы на косинус прилежащего угла.

, где  – это угол между векторами.

Таким образом, работа .

Поэтому в математике ввели операцию скалярного умножения векторов

Напоминание теории: скалярное произведение, свойство скалярного произведения

Рис. 2. Угол между векторами

Скалярным произведением двух векторов  и называется:

, где – угол между векторами (рис. 2).

Получившееся число характеризует взаимное расположение векторов.

Два ненулевых вектора перпендикулярны, когда  (угол между векторами равен 90).

Свойство 1: два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0 (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к свойству

Формула нахождения длины вектора: .

Формула нахождения угла между двумя векторами:

Решение первой части задачи, нахождение угла между векторами

Дано:  – правильная треугольная призма;.

Найти: , расстояние между прямыми BA₁ и AC₁ (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Решение

Призма, по условию, правильная, то есть такая, что в ее основании лежит равносторонний треугольник и боковые ребра перпендикулярны основанию.

1. Найдем  = (BA₁, AC₁).

Прямые BA₁ и AC₁– скрещивающиеся (по признаку скрещивающихся прямых).

1. Введем «удобную» тройку некомпланарных векторов. Таковой является тройка векторов, исходящих из вершины А:

, ,

Видим, что

, потому что ребра  и  перпендикулярны плоскостям AA₁C₁C и ABC соответственно.

, потому что вектор принадлежит треугольнику в основании, который является правильным треугольником, следовательно, все его углы – .

2.  Составим таблицу скалярных произведений:

Составим таблицу скалярных произведений:

	1	0	0
	0	1
	0		1

3.  Выразим векторы  и  через тройку некомпланарных векторов , , :

, .

4. 

Вычислим числитель. Для этого раскроем скобки:

 

Получаем

Ответ: .

Решение второй части задачи, нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми

2. Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми BA₁ и AC_1.

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это длина их общего перпендикуляра.

Вводим отрезок PQ, это и есть общий перпендикуляр, и его концы лежат на прямых. Его длину и требуется найти.

1. , 

Каждое слагаемое выразим через тройку некомпланарных векторов.

Выразим вектор : векторы  и  коллинеарные, а значит, существует λ, такая, что . Векторы  и  также коллинеарные, а значит, существует µ, такое, что . (Рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Выразим  через две новые неизвестные λ и µ:

Получаем:

Раскрывая скобки и приведя подобные члены, выражаем вектор  через векторы ,  и :

2. Вектор  перпендикулярен вектору  и вектору , а значит:

 

Подставим:

 

Раскроем скобки, используя таблицу скалярных произведений:

 

3. Зная  и  мы можем найти :

4. Найдем длину :

 = =

По формуле

С помощью таблицы скалярных произведений получаем:

Ответ:  – искомое расстояние.

Повторение пройденного на уроке

 Еще раз повторим схему решения:

• Вводим перпендикуляр PQ – общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым.
• Выражаем этот перпендикуляр через тройку некомпланарных векторов, при этом вводим два новых неизвестных параметра μ и , позволяющих зафиксировать точки P и Q.
• Находим выражение PQ через μ и .
• Находим µ и  и выражаем PQ через конкретные числа и находим PQ как корень из скалярного квадрата, используя таблицу скалярных произведений.

Вывод

Мы рассмотрели векторный метод решения задач.

 

Список литературы

1. Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.
2. Задачи по геометрии. Пособие для учащихся 7–11 кл. общеобразовательных учреждений /Б.Г. Зив, В.М. Мейлер – М.: «Просвещение», 2003–2008.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Multiring.ru (Источник).             
2. Multiring.ru (Источник).               

 

Домашнее задание

1. Стр. 116 № 441 (а, б), № 455 (а). (Геометрия: учеб. для 10–11 кл., Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.)