Задача 1

Дано:

– правильная треугольная пирамида (рис.1).

, высота .

Найти угол , расстояние ρ между прямыми и .

Построить общий перпендикуляр к прямым и .

Решение

1. Пусть – середина . , – медианы в равнобедренных треугольниках, так как – правильная пирамида. и – высоты к основанию . Тогда . Отсюда . Это значит, что ( лежит в плоскости ). Таким образом, .

Рис. 1. Правильная треугольная пирамида

2 способ доказательства.

– наклонная, – ее проекция. Проекция наклонной перпендикулярна прямой , лежащей в плоскости . Значит, . .

2. Расстояние между скрещивающимися прямыми – это длина их общего перпендикуляра, отрезка, который перпендикулярен и и концы которого лежат на данных прямых.

Построение: . Это означает, что любая прямая, которая исходит из точки и лежит в этой плоскости, перпендикулярна . Из этого множества прямых необходимо выбрать ту, которая перпендикулярна .

Проведем высоту в (рис.2). – искомый общий перпендикуляр между прямыми и : (по построению); , так как .

Рис. 2. Правильная треугольная пирамида, с проведённой высотой PQ

3. – высота . – высота, .

– высота ..

– радиус описанной окружности.

– длина бокового ребра. – гипотенуза .

Используя подобие двух прямоугольных треугольников и с общим углом (по первому признаку, ; ), запишем: .

Ответ: ; .