Решение задачи №1
Задача 1
Дано:
– правильная треугольная пирамида (рис.1).
, высота 
.
Найти угол 
, расстояние ρ между прямыми 
и 
.
Построить общий перпендикуляр к прямым и .
Решение
1. Пусть 
– середина . 
, 
– медианы в равнобедренных треугольниках, так как 
– правильная пирамида. и 
– высоты к основанию . Тогда 
. Отсюда 
. Это значит, что 
(
лежит в плоскости 
). Таким образом, 
.
Рис. 1. Правильная треугольная пирамида
2 способ доказательства.
– наклонная, 
– ее проекция. Проекция наклонной перпендикулярна прямой , лежащей в плоскости 
. Значит, 
. 
.
2. Расстояние между скрещивающимися прямыми – это длина их общего перпендикуляра, отрезка, который перпендикулярен и и концы которого лежат на данных прямых.
Построение: 
. Это означает, что любая прямая, которая исходит из точки и лежит в этой плоскости, перпендикулярна . Из этого множества прямых необходимо выбрать ту, которая перпендикулярна .
Проведем высоту 
в 
(рис.2). – искомый общий перпендикуляр между прямыми и : 
(по построению); 
, так как 
.
Рис. 2. Правильная треугольная пирамида, с проведённой высотой PQ
3. – высота . 
– высота, .
– высота 
.
.
– радиус описанной окружности.
– длина бокового ребра. – гипотенуза 
.
Используя подобие двух прямоугольных треугольников 
и 
с общим углом 
(по первому признаку, 
; 
), запишем: 
.
Ответ: ; 
.
Определения правильного тетраэдра
Частный случай правильной треугольной пирамиды – правильный тетраэдр (рис. 3). В правильной пирамиде в основании лежит правильный 
.
Рис. 3. Правильный тетраэдр
не обязательно равно 
. Если 
, то DABC – правильный тетраэдр (рис. 4).
Рис. 4. Правильный тетраэдр
Правильным тетраэдром называется такая правильная треугольная пирамида, у которой ребро основания и боковое ребро равны друг другу. И, наоборот, если дана пирамида с равными ребрами, то такая пирамида – тетраэдр.
Если правильная пирамида задается двумя элементами, то правильный тетраэдр задается одним элементом. В задачах это может быть расстояние между скрещивающимися прямыми.
Решение задачи №2
Все ребра пирамиды (рис. 5) имеют одинаковую длину. Найти эту длину, если расстояние между прямыми и равно 
.
Дано:
.
Найти: .
Решение
1) Эта пирамида – тетраэдр. Ребро обозначим 
.
Пусть и 
– середины и . 
.
Рис. 5. Пирамида
Тогда , 
– равнобедренный. 
– апофемы.
, так как 
.
Таким образом, из свойств пирамиды, 
– общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым.
2) – высота в равнобедренном (рис. 6).
Рис. 6. Равнобедренный треугольник, с проведенной высотой PQ
Для 
, по теореме Пифагора, 
.
.
Ответ: 
.
Решение задачи №3
В правильном тетраэдре (рис. 7) точка 
– середина ребра . Найти: косинус угла между прямыми 
и 
.
Решение
Прямая скрещивается с прямой . Для того чтобы найти косинус угла между этими прямыми, необходимо взять удобную точку (точка 
и провести прямую, параллельную прямой .
Рис. 7. Правильный тетраэдр
– искомый угол. 
– средняя линия 
.
, так как это высоты в равных треугольниках.
Проведем медиану, биссектрису, высоту 
.
.
Из 
: 
.
Ответ: 
.
Список рекомендованной литературы
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10 – 11 Кл. – М.: Просвещение.
- Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики 10-11 класса.- М.: Просвещение, 1996.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Постройте расстояние и угол между высотой четырехугольной пирамиды и ребром ее основания.
- Постройте расстояние и угол между скрещивающимся боковым ребром правильной четырехугольной пирамиды и диагональю ее основания.
