Дано:

– правильная треугольная призма; все ее ребра равны 1 (рис. 8).

Найти:

расстояние между прямыми и .

Решение.

и – скрещивающиеся прямые. Чтобы найти расстояние между ними, используем метод перпендикулярной плоскости.

К прямой все прямые ребра перпендикулярны.

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 3

а) пусть и – середины и . Тогда – гипотенуза, высота, биссектриса в равнобедренном .

Значит, – перпендикуляр к двум пересекающимся прямым. А значит, и ко всей плоскости . Это и есть плоскость . Кратко записывается так:

б) найдем проекции прямых на эту плоскость.

(потому что перпендикуляр к плоскости);

Спроектируем прямую на плоскость . Точка лежит в этой плоскости. Необходимо найти перпендикуляр от точки к плоскости . Вспомним о наличии перпендикуляра к этой плоскости. – перпендикуляр к плоскости; – проекция точки на плоскость. Прямая проектируется на плоскость в прямую .

(рис. 9.):

Рис. 9. Иллюстрация к задаче № 3

в) Теперь нужно найти расстояние от точки к прямой .

Искомое расстояние – это высота, опущенная из прямого угла в прямоугольном (рис. 10):

Рис. 10. Иллюстрация к задаче № 3

– высота в равностороннем .

Ответ: расстояние между прямыми и равно

Ход решения

1. Имеем две скрещивающиеся прямые. Находим плоскость, которая перпендикулярна первой прямой. Строим эту плоскость. и – середины прямых. .

2. Проектируем скрещивающиеся прямые на эту плоскость. Первая проекция – точка , вторая проекция – . Ее находим так: точка лежит в плоскости, а проекция точки на плоскость – точка (, – перпендикуляр к плоскости).

3. Находим расстояние от точки до проекции . Вырисовываем для удобства эту плоскость и находим расстояние .

Мы рассмотрели задачи на углы и расстояния между скрещивающимися прямыми треугольной призмы.

Список литературы

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10–11 кл. – М.: Просвещение.
Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики 10–11 класса. – М.: Просвещение, 1996.
В.И. Рыжик. Дидактические материалы по геометрии для 11 класса с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1999.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" (Источник).
Фестиваль педагогических идей "Открытый урок (Источник).
Ege-ok.ru (Источник).

Домашнее задание

В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 1.
Найдите расстояние от точки до плоскости .
В правильном октаэдре ( и – несмежные вершины) точка – середина ребра . Найдите косинус угла между прямыми и .