Задача 1, типовая задача на сферу, вписанную в конус, часть 1 нахождение радиуса сферы
В конус с радиусом основания R=3 и высотой h=4 вписана сфера. Найти радиус сферы и отношение объемов конуса и шара.
Решение
1. Дано: BC=R=3, SC=h=4
Найти: OD=r.
Рассмотрим осевое сечение фигур (рис. 1):
Рис. 1. Иллюстрация к задаче
Сечение конуса – это равнобедренный треугольник ABS, а сечение сферы – это окружность, вписанная в этот треугольник.
Центр вписанной окружности находится на пересечении биссектрис. Используем свойство биссектрисы BO. Рассмотрим треугольник BCS:
CA=CB=R=3 – катет
CS=4 – второй катет, найдем гипотенузу SB:
Биссектриса BO рассекает противоположную сторону треугольника на части пропорциональные прилежащим сторонам, то есть:
Или:
Получаем уравнение относительно r:
Ответ: 
Задача 1, типовая задача на сферу, вписанную в конус, часть 2 нахождение отношения объемов конуса и шара
2. Дано: 
(рис. 2)
Найти: 
.
Рис. 2. Иллюстрация к задаче
Формируем отношение объемов:
Сокращаем и подставляем известные величины:
Ответ:
Задача 2, типовая задача на конус, вписанный в сферу, нахождение радиуса сферы
Дано: радиус основания конуса r=3, а высота h=4.
Найти: радиус шара, описанного вокруг конуса.
Решение
Рассмотрим осевое сечение (рис. 3):
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
Имеем равнобедренный треугольник (сечение конуса) и описанную окружность (сечение шара). Задача сводится к тому, чтобы найти радиус описанной окружности.
Видим, что AC=r=3, SC=h=4.
Точка O – центр сферы, лежит на высоте 
.
Рассмотрим 
, искомый радиус будем находить из этого треугольника. По теореме Пифагора:
Подставляем известные значения высоты h и радиуса r:
Раскрываем скобки, сокращаем и приводим подобные члены:
Ответ: искомый радиус 
.
Задача 3, типовая задача на цилиндр, вписанный в сферу, нахождение отношения объемов цилиндра и сферы
Дано: в цилиндр вписан шар.
Найти:
Решение
Рассмотрим осевое сечение (рис. 4):
Рис. 4. Иллюстрация к задаче
Сечение сферы – окружность, сечение цилиндра – квадрат. Пусть r – радиус сферы. 
– квадрат. Радиус цилиндра 
, высота цилиндра 
. Получаем:
Ответ:
Задача 4, типовая задача на цилиндр, вписанный в сферу, нахождение радиуса сферы
Дано: около цилиндра с радиусом основания r и высотой h описана сфера.
Найти: радиус сферы
Решение
Рассмотрим осевое сечение (рис. 5):
Рис. 5. Иллюстрация к задаче
В данном случае осевое сечение цилиндра – прямоугольник , осевое сечение шара – окружность. Задача сводится к планиметрической задаче: найти радиус окружности, описанной около прямоугольника.
Рассмотрим 
: он прямоугольный, первый катет 
, второй катет 
. Теорема Пифагора дает уравнение для искомого радиуса:
Ответ:
Подведение итогов
Заметим, что все задачи свелись к простейшим планиметрическим задачам, несмотря на достаточно сложные формулировки задач.
Список литературы
- Геометрия: учеб. для 10–11 кл. для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: «Просвещение», 2008.
- Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и профильный уровни/А.В.Погорелов – М.: «Просвещение», 2014.
- Готман Э.Г.Стереометрические задачи и методы их решения.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Стр. 156 № 643 (а, в), № 644 (Геометрия: учеб. для 10–11 кл. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.)
