Повторение основных геометрических фигур
Начнём урок с нескольких определений.
Геометрия – наука, которая занимается изучением геометрических фигур. Геометрия делится на два раздела – планиметрия и стереометрия.
Планиметрия – раздел геометрии, изучающий фигуры на плоскости. Примерами таких фигур могут быть отрезок, прямая, треугольник.
Стереометрия – раздел геометрии, раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве.
Геометрическая фигура – это совокупность точек.
Повторим ключевые понятия геометрии курса 7 класса.
Рассмотрим простейшую фигуру – точку. Она обозначается заглавной буквой латинского алфавита, как показано на рисунке.
Рис. 1. Обозначение точки в геометрии
Прямая – это совокупность точек. Любая прямая может быть обозначена двумя способами – либо прописной буквой латинского алфавита, либо названием двух точек, которые лежат на данной прямой. Например, 
.
Рис. 2. Обозначение прямой в геометрии
Очевидно, что прямая – это фигура, которая бесконечна. Любая геометрическая фигура состоит из простейших геометрических фигур – точки и прямой.
Геометрическая фигура, которая состоит из всех точек прямой, расположенных между двумя заданными, вместе с ними (концами отрезка) называется отрезком. Обозначение отрезка следующее: 
.
Рис. 3. Обозначение отрезка в геометрии
Угол – это геометрическая фигура, которая образована двумя лучами, выходящими из одной точки. Обозначение угла может иметь вид: 
.
Точка 
– это вершина угла, 
и 
– стороны угла.
Рис. 4. Угол 
Теперь вспомним понятие «равные фигуры». Фигуры называются равными в случае, если их можно совместить наложением. Однако для простоты сравнения отрезков и углов вводятся понятия длина отрезка и градусная мера угла.
Отрезок измеряется в метрах (сантиметрах, километрах, миллиметрах). Чем больше длина отрезка, тем больше сам отрезок. И его можно сравнить с другими отрезками на плоскости.
Что касается угла, то градусная мера неразрывно связана с понятием развёрнутого угла.
Развёрнутый угол – это угол, стороны которого лежат на одной прямой.
Рис. 5. Угол развёрнутый
Считается, что развёрнутый угол равен 
. Следовательно, 
градус – это 
часть развёрнутого угла. В практическом применении существуют ещё такие единицы измерения угла: 
, 
. Если градусные меры двух углов равны, то и данные углы равны.
Смежные углы
Особое место занимает угол 
. Если развёрнутый угол разделить пополам, получим два угла по .
Рис. 6. Угол развёрнутый
На рис. 6 изображены 
. Углы, градусная мера которых равна , называются прямыми.
Вспомним, что такое смежные углы. Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными.
Рис. 7. 
и 
– смежные
Опорный факт: сумма смежных углов : и 
.
Пример 1
Решим опорную задачу.
Пример 1. Найти градусную меру угла между биссектрисами смежных углов.
Луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам, называется биссектрисой.
Решение
Выполним пояснительный рисунок к задаче: 
и 
– биссектрисы смежных углов 
и 
соответственно.
Рис. 8. Рисунок к примеру 1
По свойству смежных углов, их сумма равна , поэтому 
, но поскольку и – биссектрисы, то 
, 
. Подставим данные выражения в основное соотношение: 
. Вынесем 
за скобки: 
.
Делаем вывод: мы можем не знать градусные меры смежных углов, однако мы знаем их сумму – и то, что угол между их биссектрисами равен .
Ответ: .
Вертикальные углы
Теперь пришло время вспомнить, что называется вертикальными углами.
Рассмотрим пересечение двух прямых. На рисунке изображено пересечение двух прямых 
и 
в точке 
.
Рис. 9. Вертикальные углы 
и 
Если стороны одного угла являются продолжениям второго угла, то такие углы называются вертикальными. Именно поэтому на рисунке изображено две пары вертикальных углов: и , а также 
и 
.
Главное свойство данных углов состоит в том, что вертикальные углы равны. То есть 
, 
.
Закрепим наши знания с помощью конкретной задачи.
Пример 2
Пример 2.
Один из смежных углов в 
раз больше другого. Найдите эти углы.
Решение
Рис. 10. Рисунок к примеру 2
Сперва мы выполнили пояснительный рисунок и нанесли на него удобные нам обозначения. Как известно, один из углов в раз больше другого, поэтому уясним, что 
. Как известно, сумма смежных углов равна , поэтому 
.
Выполним подстановку 
.
Соответственно, 
. Действительно, 
.
Ответ: 
, 
.
Справка: выполнение умножения на можно свести к небольшому правилу (см. рис. 11).
Рис. 11. Рисунок к справке
Аксиома геометрии
Напоследок вспомним об аксиоме геометрии. Геометрическое утверждение, которое принимается без доказательств, называется аксиомой.
Аксиома: через две точки (далее – имеется в виду, через две разных точки, которые не совпадают друг с другом) можно провести прямую, и только одну.
Теорема. Рассмотрим следующую теорему: две прямые, которые пересекаются, имеют только одну общую точку.
Доказательство
Положим, что две пересекающиеся прямые имеют две общие точки. Тогда через две точки проходят две прямые, а это противоречит аксиоме 1. Следовательно, наше предположение неверно, в таком случае две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку.
Рис. 12. Две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку
Таким образом, на данном уроке мы закрепили свои знания, полученные в теме «Начальные геометрические сведения».
Список рекомендованной литературы
- Александров А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. и др. Геометрия 7. М.: Просвещение.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. М.: Просвещение.
- Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В.В., под ред. Садовничего В.А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- №15-№16. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под ред. Садовничего В.А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010.
- Один из смежных углов в
раз больше другого. Найдите эти углы. - На прямой отмечена точка
. Найдите длину 
в дециметрах, если 
см, 
м. - * Чему равен угол между биссектрисами вертикальных углов?
