Введение
Задачи на построение решаются с помощью двух инструментов: циркуля и линейки. Такие задачи включают в себя 
основных этапа.
- Анализ задачи:
- анализируем исходные данные,
- ищем связь между исходными данными и искомыми элементами,
- вырабатываем план решения;
- построение по намеченному плану;
- доказательство того, что полученная фигура удовлетворяет всем условиям задачи;
- исследование.
В простых задачах некоторые этапы могут быть опущены.
Задача 1
Построить прямоугольный треугольник 
, где 
, если известны длины отрезков 
и 
, на которые гипотенузу рассекает высота 
.
Решение
Есть искомый прямоугольный треугольник, в котором , – высота, 
и 
(Рис. 1).
Рис. 1. Искомый треугольник
То есть имеется два отрезка 
и 
длиной и соответственно (Рис. 2).
Рис. 2. Данные отрезки
Задача состоит в том, что нужно построить прямоугольный треугольник по этим данным.
Решаем поэтапно.
1. Анализ задачи (как построить искомый треугольник): можно взять любую прямую, на ней взять фиксированную точку 
, отложить по разные стороны от нее отрезки длиной и , таким образом получить точки 
и 
(Рис. 3).
Рис. 3. Как получить точки и
Как получить вершину 
? Для начала нужно понять, что она лежит на перпендикуляре, который можно провести из вершины . Но ведь на этом перпендикуляре бесконечное количество точек. Чтобы определить, какая именно из точек является искомой точкой , нужно вспомнить свойство прямоугольного треугольника: 
, где 
– середина гипотенузы. Отсюда следует, что точка лежит на окружности, центр которой находится в точке и радиус которой равен половине гипотенузы. Тогда точка – это точка, образованная при пересечении перпендикуляра, проведенного из точки , и окружности, которой находится в точке и радиус которой равен половине гипотенузы (Рис. 4).
Рис. 4. Местонахождение точки
2. Построение по намеченному плану
Берем прямую 
, на этой прямой точку . Откладываем отрезок длиной и отрезок длиной . Проводим прямую 
через точку так, чтобы 
, и окружность с центром в точке ( – середина ) и радиусом 
. Окружность пересекает прямую в двух точках – и 
. Получили треугольники и 
(Рис. 5).
Рис. 5. Выполненное построение
3. Доказательство
Но равен ли угол и 
? , т.к. 
. 
, т.к. 
(Рис. 6).
Рис. 6. ,
4. Исследование
Треугольники и являются искомыми (обоснование смотри в пункте 
и 
).
(по катету и гипотенузе). Если считать равные треугольники за один треугольник, то задача имеет единственное решение.
Задача 2.
Построить прямоугольный треугольник по катету, разнице гипотенузы и другого катета.
Решение
По условию задачи дано: 
, первый катет 
, второй катет 
, гипотенуза 
, 
.
1. Анализ задачи: на произвольной прямой отложим отрезок 
длиной и из точки проведем перпендикуляр 
. Получим две вершины прямоугольного треугольника и и прямую , где лежит вершина (Рис. 7).
Рис. 7. Начальный этап
Мы использовали условия , первый катет . Осталось воспользоваться условием . Пусть найдена вершина и искомый треугольник построен (Рис. 8).
Рис. 8. Искомый треугольник
Отложим отрезок 
, длина которого (Рис. 9).
Рис. 9. Отложили отрезок
Отсюда следует, что точка равноудалена от точек и 
, а значит, она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку 
. Важно, что мы можем построить прямоугольный треугольник 
по имеющимся по условию катетам и (Рис. 10).
Рис. 10. Можно построить треугольник
1. Построение по плану
- Построить прямоугольный треугольник по двум данным катетам и (Рис. 11).
Рис. 11. Иллюстрация к первому пункту плана
- Строим серединный перпендикуляр к гипотенузе полученного треугольника.
(Рис. 12).
Рис. 12.
3. Доказательство
Такая точка действительно существует. Докажем это. Предположим, что точка не существует. Тогда 
. А значит, 
. Тогда получается, что в треугольнике два прямых угла, чего быть не может (Рис. 13). Значит, прямые и не параллельны, то есть пересекаются, тогда точка существует.
Рис. 13. Доказательство
Выясним, как расположена точка по отношению к точке . Из рисунка видно, что если 
, то точка лежит выше точки (Рис. 14). А если 
, то точка лежит ниже точки .
Рис. 14. Иллюстрация к задаче
Заметим, что если 
, то треугольник не существует. Почему? Рассмотрим разность 
. Чтобы треугольник существовал нужно, чтобы 
, то есть должно выполняться условие 
.
, то точка лежит выше точки , теперь можно нарисовать треугольник (Рис. 15).
Рис. 15. Искомый треугольник
4. Исследование
Этот треугольник искомый, т.к. , 
, 
. Задача имеет единственное решение, т.к. исходный треугольник с катетами и единственный, серединный перпендикуляр к гипотенузе единственный и точка пересечения серединного перпендикуляра с прямой, содержащей исходный катет, единственная. Вывод: если , задача решений не имеет, если , задача имеет единственное решение.
Список рекомендованной литературы
- Геометрия. Учебник для 7-9 классов. Атанасян Л.С. и др. М.: Просвещение, 2010.
- Геометрия 7 класс, А.Г. Мерзляк. М.: Вентана-Граф, 2015.
- Геометрия 7 класс, А.Д. Александров. М.: Просвещение, 2013.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет портал «yaklass.ru» (Источник)
- Интернет портал «wiki.eduvdom.com» (Источник)
- Интернет портал «festival.1september.ru» (Источник)
Домашнее задание
- Постройте треугольник по стороне и прилежащим к ней углам.
- Постройте треугольник по высоте, одной из боковых сторон и разности углов при основании.
- Постройте остроугольный треугольник по сумме углов и , высоте
и стороне 
.
