В равнобедренном треугольнике совпадают биссектриса, медиана и высота, проведенные из вершины, лежащей против основания.

Пусть , равнобедренный треугольник (см. рис. 9).

Дано: – биссектриса, .

Доказать: , .

Рис. 9. Иллюстрация к теореме 2

Доказательство: по условию , отрезок – общий для треугольников , .

, значит, по первому признаку равенства треугольников . Из этого равенства вытекает равенство , т.е. точка – середина, а значит, биссектриса является одновременно и медианой. Из равенства треугольников вытекает равенство углов.

(как смежные), а значит, каждый их них равен

Рис. 10. Доказательство теоремы 2

Стало быть, является и высотой. Теорема доказана (см. рис. 10).

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны (см. рис. 11).

Рис. 11. Медиана

Биссектриса – луч, делящий угол на две равные части (см. рис. 12).

Рис. 12. Биссектриса

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины к прямой, проходящий через противоположную сторону (см. рис. 13).

Рис. 13. Высота внутри треугольника

Высота может находиться как внутри треугольника, так и вне его. Давайте рассмотрим другой случай (см. рис. 14).

Рис. 14. Высота вне треугольника

Когда же высота находится внутри треугольника, а когда вне?

Теорема 3

Если треугольник остроугольный, то высота находится внутри треугольника.

Пусть треугольник остроугольный, но высота – точка , находится вне стороны (см. рис. 15).

Дано:, , , .

Доказать: .

Рис. 15. Иллюстрация к теореме 3

Доказательство: от противного: противоречие: (по условию), () (по теореме о внешнем угле ).

Рис. 16. Доказательство теоремы 3

Итак, высота остроугольного треугольника находится внутри треугольника. Что и требовалось доказать (см. рис. 16).

Список рекомендованной литературы

Геометрия. Учебник для 7-9 классов. Погорелов А.В. 2-е изд. - М.: 2014 - 240 с.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.:Просвещение.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Признаки равенства треугольников (Источник).
Первый и второй признаки равенства треугольников. Равнобедренный треугольник (Источник).
Свойства треугольника (Источник).

Домашнее задание

Треугольник – равнобедренный, – биссектриса к основанию . Докажите, что равен .
Есть треугольники (). Внешне построены квадраты и . Докажите, что .
В треугольнике стороны и равны, а , . Найти .