Признаки равенства треугольников. Равнобедренный треугольник

Введение

Давайте повторим признаки равенства треугольников.

Два треугольника называются равными, если соответственно равны их стороны и углы (см. рис. 1).

Рис. 1. Равные треугольники

Против равных сторон лежат равные углы и наоборот (см. рис. 1).

Равенство треугольников предусматривает равенство шести элементов. Но эти элементы – стороны и углы – не являются независимыми друг от друга.

Первый признак равенства треугольников

Дан треугольник , сторону  убрали. Получили , и мы видим, что эту сторону можно всегда восстановить. Значит, три элемента – две стороны и угол между ними – полностью определяют этот треугольник.

Признак равенства 1: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть имеем один треугольник  и второй треугольник . И пусть у них сторона , сторона  и , то  (см. рис. 2).

Рис. 2. Первый признак равенства треугольников

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (см. рис. 3).

Рис. 3. Второй признак равенства треугольников

Пусть у нас есть два треугольника  и . Пусть в этих треугольниках , , . Этого достаточно, чтобы утверждать, что .

То есть это признак по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (см. рис. 4).

Рис. 4. Третий признак равенства треугольников

Пусть имеем треугольник  и треугольник . И пусть в этих треугольниках , , . Этого достаточно для того, чтобы .

Итак, мы повторили три признака равенства треугольников. Заметим, что из равенства треугольников следует равенство всех соответственных элементов (биссектрис, медиан, высот).

Далее рассмотрим равнобедренный треугольник.

Равнобедренный треугольник

Определение: треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны (см. рис. 5).

Рис. 5. Равнобедренный треугольник

Пусть имеем треугольник , в котором . Вот такой треугольник называется равнобедренным. Равные стороны называются боковыми сторонами. Третья сторона называется основанием.

Теорема 1

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Имеем равнобедренный треугольник  (см. рис. 6).

Дано: .

Доказать:.

Рис. 6. Иллюстрация к теореме

Доказательство: рассмотрим  и .  (по первому признаку равенства треугольников) по двум сторонам и углу между ними. Против равных сторон лежат равные углы. Значит, . Что и требовалось доказать (см. рис. 7).

Рис. 7. Доказательство теоремы

Аналогично доказывается признак равнобедренного треугольника.

Признак равнобедренного треугольника

Если мы имеем треугольник и два равных угла, то противолежащие стороны тоже равны. Против равных углов лежат равные стороны (см. рис. 8).

Рис. 8. Признак равнобедренного треугольника

Теорема 2

В равнобедренном треугольнике совпадают биссектриса, медиана и высота, проведенные из вершины, лежащей против основания.

Пусть , равнобедренный треугольник (см. рис. 9).

Дано:   – биссектриса, .

Доказать: , .

Рис. 9. Иллюстрация к теореме 2

Доказательство: по условию , отрезок  – общий для треугольников , .

 , значит, по первому признаку равенства треугольников . Из этого равенства вытекает равенство , т.е. точка  – середина, а значит, биссектриса  является одновременно и медианой. Из равенства треугольников вытекает равенство углов.

 (как смежные), а значит, каждый их них равен

Рис. 10. Доказательство теоремы 2

Стало быть,  является и высотой. Теорема доказана (см. рис. 10).

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны (см. рис. 11).

Рис. 11. Медиана

Биссектриса – луч, делящий угол на две равные части (см. рис. 12).

Рис. 12. Биссектриса

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины к прямой, проходящий через противоположную сторону (см. рис. 13).

Рис. 13. Высота внутри треугольника

Высота может находиться как внутри треугольника, так и вне его. Давайте рассмотрим другой случай (см. рис. 14).

Рис. 14. Высота вне треугольника

Когда же высота находится внутри треугольника, а когда вне?

Теорема 3

Если треугольник остроугольный, то высота находится внутри треугольника.

Пусть треугольник остроугольный, но высота – точка , находится вне стороны  (см. рис. 15).

Дано:, , , .

Доказать: .

Рис. 15. Иллюстрация к теореме 3

Доказательство: от противного:  противоречие: (по условию),  () (по теореме о внешнем угле ).

Рис. 16. Доказательство теоремы 3

Итак, высота остроугольного треугольника находится внутри треугольника. Что и требовалось доказать (см. рис. 16).

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. Учебник для 7-9 классов.  Погорелов А.В. 2-е изд. - М.: 2014 - 240 с.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.:Просвещение.
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Признаки равенства треугольников (Источник).
2. Первый и второй признаки равенства треугольников. Равнобедренный треугольник (Источник).
3. Свойства треугольника (Источник).

 

Домашнее задание

1. Треугольник  – равнобедренный,  – биссектриса к основанию . Докажите, что  равен .
2. Есть треугольники  (). Внешне построены квадраты  и . Докажите, что .
3. В треугольнике  стороны  и  равны, а , . Найти .