02. Признаки равенства треугольников. Равнобедренный треугольник

Введение

Давайте повторим признаки равенства треугольников.

Два треугольника называются равными, если соответственно равны их стороны и углы (см. рис. 1).

Против равных сторон лежат равные углы и наоборот (см. рис. 1).

Равенство треугольников предусматривает равенство шести элементов. Но эти элементы – стороны и углы – не являются независимыми друг от друга.

Первый признак равенства треугольников

Дан треугольник , сторону  убрали. Получили , и мы видим, что эту сторону можно всегда восстановить. Значит, три элемента – две стороны и угол между ними – полностью определяют этот треугольник.

Признак равенства 1: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть имеем один треугольник  и второй треугольник . И пусть у них сторона , сторона  и , то  (см. рис. 2).

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (см. рис. 3).

Пусть у нас есть два треугольника  и . Пусть в этих треугольниках , , . Этого достаточно, чтобы утверждать, что .

То есть это признак по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (см. рис. 4).

Пусть имеем треугольник  и треугольник . И пусть в этих треугольниках , , . Этого достаточно для того, чтобы .

Итак, мы повторили три признака равенства треугольников. Заметим, что из равенства треугольников следует равенство всех соответственных элементов (биссектрис, медиан, высот).

Далее рассмотрим равнобедренный треугольник.

Равнобедренный треугольник

Определение: треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны (см. рис. 5).

Пусть имеем треугольник , в котором . Вот такой треугольник называется равнобедренным. Равные стороны называются боковыми сторонами. Третья сторона называется основанием.

Теорема 1

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Имеем равнобедренный треугольник  (см. рис. 6).

Дано: .

Доказать: .

Доказательство: рассмотрим  и .  (по первому признаку равенства треугольников) по двум сторонам и углу между ними. Против равных сторон лежат равные углы. Значит, . Что и требовалось доказать (см. рис. 7).

Аналогично доказывается признак равнобедренного треугольника.

Признак равнобедренного треугольника

Если мы имеем треугольник и два равных угла, то противолежащие стороны тоже равны. Против равных углов лежат равные стороны (см. рис. 8).

Теорема 2

В равнобедренном треугольнике совпадают биссектриса, медиана и высота, проведенные из вершины, лежащей против основания.

Пусть , равнобедренный треугольник (см. рис. 9).

Дано: ,  – биссектриса, .

Доказать: , .

Доказательство: по условию , отрезок – общий для треугольников , .

 , значит, по первому признаку равенства треугольников . Из этого равенства вытекает равенство , т.е. точка  – середина, а значит, биссектриса  является одновременно и медианой. Из равенства треугольников вытекает равенство углов.

 (как смежные), а значит, каждый их них равен .

Стало быть,  является и высотой. Теорема доказана (см. рис. 10).

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны (см. рис. 11).

Биссектриса – луч, делящий угол на две равные части (см. рис. 12).

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины к прямой, проходящий через противоположную сторону (см. рис. 13).

Высота может находиться как внутри треугольника, так и вне его. Давайте рассмотрим другой случай (см. рис. 14).

Когда же высота находится внутри треугольника, а когда вне?

Теорема 3

Если треугольник остроугольный, то высота находится внутри треугольника.

Пусть треугольник остроугольный, но высота – точка , находится вне стороны  (см. рис. 15).

Дано: , , , .

Доказать: .

Доказательство: от противного:  противоречие: (по условию),  () (по теореме о внешнем угле ).

Итак, высота остроугольного треугольника находится внутри треугольника. Что и требовалось доказать (см. рис. 16).

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. Учебник для 7-9 классов.  Погорелов А.В. 2-е изд. - М.: 2014 - 240 с.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.:Просвещение.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «wiki.eduvdom.com» (Источник).

2. Интернет-портал «urok.1sept.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Треугольник  – равнобедренный,  – биссектриса к основанию . Докажите, что  равен .

2. Есть треугольники  (). Внешне построены квадраты  и . Докажите, что .

3. В треугольнике  стороны  и  равны, а , . Найти .