Прямоугольным называется треугольник, если у него хотя бы один из углов прямой (равен ). Прямоугольный треугольник является частным случаем обыкновенного треугольника, имеет один (и только один) угол .

На рис. 1 изображён прямоугольный треугольник . . Вспомним, что сумма углов произвольного треугольника равна . Не есть исключением и прямоугольный. Сумма углов прямоугольного треугольника также равна . Обозначим острые углы , . Вследствие того, что , а , следует, что .

Стороны, прилежащие к вершине прямого угла, называются катетами. А сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой. На рис. 1 , – катеты, – гипотенуза.

Прямоугольный треугольник

Рис. 1. Прямоугольный треугольник

Основные свойства прямоугольного треугольника

Свойство 1. Сумма острых углов треугольника равна . Как известно, в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. Прямой угол – наибольший в прямоугольном треугольнике. Если один угол прямоугольного треугольника больше (не учитывая действительный прямой угол), то данный треугольник перестаёт таковым являться, ведь сумма углов превысит . Таким образом, гипотенуза – наибольшая сторона треугольника. Гипотенуза больше катета.

Свойство 2. , .

Свойство 3 связано с наличием угла . На рис. 2 дан прямоугольный треугольник . Угол равен . Доказать, что равна половине .

Прямоугольный треугольник и равносторонний треугольник

Рис. 2. Прямоугольный треугольник и равносторонний треугольник

Доказательство

Выполним дополнительное построение, а именно: достроим треугольник на стороне , равный треугольнику . Поскольку в полученном треугольнике является и биссектрисой, и высотой, то треугольник – равнобедренный, а поскольку все его углы равны по (), то треугольник – равносторонний.

Поскольку треугольник – равнобедренный, то . Если – медиана и высота треугольника , то . Поскольку , то . Что и требовалось доказать.

Свойство 3. Катет, лежащий против угла , равен половине гипотенузы.

Прямоугольный треугольник неразрывно связан с понятием «расстояние от точки к прямой». Расстоянием от точи до прямой называется длина наименьшего отрезка, соединяющего данную точку и прямую.

Расстояние от точки до прямой

Рис. 3. Расстояние от точки до прямой

Наименьшим отрезком от точки до прямой является длина перпендикуляра , остальные наклонные (, ) будут больше. Таким образом, .