Повторение определения, первое свойство прямоугольного треугольника
Прямоугольным называется треугольник, если у него хотя бы один из углов прямой (равен 
). Прямоугольный треугольник является частным случаем обыкновенного треугольника, имеет один (и только один) угол .
На рис. 1 изображён прямоугольный треугольник 
. 
. Вспомним, что сумма углов произвольного треугольника равна 
. Не есть исключением и прямоугольный. Сумма углов прямоугольного треугольника также равна . Обозначим острые углы 
, 
. Вследствие того, что 
, а 
, следует, что 
.
Стороны, прилежащие к вершине прямого угла, называются катетами. А сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой. На рис. 1 
, 
– катеты, 
– гипотенуза.
Рис. 1. Прямоугольный треугольник
Основные свойства прямоугольного треугольника
Свойство 1. Сумма острых углов треугольника равна . Как известно, в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. Прямой угол – наибольший в прямоугольном треугольнике. Если один угол прямоугольного треугольника больше (не учитывая действительный прямой угол), то данный треугольник перестаёт таковым являться, ведь сумма углов превысит . Таким образом, гипотенуза – наибольшая сторона треугольника. Гипотенуза больше катета.
Свойство 2. 
, 
.
Свойство 3 связано с наличием угла 
. На рис. 2 дан прямоугольный треугольник . Угол 
равен . Доказать, что равна половине .
Рис. 2. Прямоугольный треугольник и равносторонний треугольник 
Доказательство
Выполним дополнительное построение, а именно: достроим треугольник 
на стороне , равный треугольнику . Поскольку в полученном треугольнике является и биссектрисой, и высотой, то треугольник – равнобедренный, а поскольку все его углы равны по 
(
), то треугольник – равносторонний.
Поскольку треугольник – равнобедренный, то 
. Если – медиана и высота треугольника , то 
. Поскольку , то 
. Что и требовалось доказать.
Свойство 3. Катет, лежащий против угла , равен половине гипотенузы.
Прямоугольный треугольник неразрывно связан с понятием «расстояние от точки к прямой». Расстоянием от точи до прямой называется длина наименьшего отрезка, соединяющего данную точку и прямую.
Рис. 3. Расстояние от точки до прямой
Наименьшим отрезком от точки до прямой является длина перпендикуляра 
, остальные наклонные (, ) будут больше. Таким образом, 
.
Признаки равенства треугольников
В данный момент рассмотрим признаки равенства прямоугольных треугольников.
Вспомним первый признак равенства треугольников: если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Проиллюстрируем данный случай.
Рис. 4. Равные прямоугольные треугольники
Данный признак является переформулировкой первого признака равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними.
.
Второй признак равенства прямоугольных треугольников звучит так: если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 5. Равные прямоугольные треугольники
Данный признак является следствием из второго признака равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам: 
.
Рассмотрим случай равенства соответствующих катетов и противолежащих к ним углов в двух треугольниках: 
, 
.
Равенство 
осуществляется, потому что 
, 
, но углы (по условию), а поскольку сумма углов 
и 
, 
фиксирована, то .
Третий признак равенства прямоугольных треугольников звучит так: если в двух прямоугольных треугольниках равны гипотенузы и соответствующие острые углы, такие треугольники равны.
Рис. 6. Равные прямоугольные треугольники
Данные треугольники равны, если 
.
Поскольку известно, что одна пара острых углов у прямоугольных треугольников равна (
), то равенство другой пары углов (
) доказывается следующим образом: 
.
Поскольку 
( по условию), 
, 
. Поэтому треугольники 
и 
равны по второму признаку.
Особый признак равенства треугольников
Рассмотрим особый признак равенства прямоугольных треугольников. Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, треугольники равны.
Рис. 7. Равные прямоугольные треугольники
Данный признак не имеет аналогов у обыкновенных признаков равенства треугольников.
Специфика данного признака заключается в т.н. наибольшем угле прямоугольных треугольников – . Сформулируем признак равенства произвольных треугольников – по двум сторонам и наибольшему углу треугольников. Угол 
необязательно должен лежать между сторонами и . Главное условие в данном признаке – угол – наибольший.
Рис. 8. Равные треугольники
Если две стороны одного треугольника и наибольший угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и наибольшему углу другого треугольника, такие треугольники равны.
В заключение отметим, что все признаки равенства произвольных треугольников являются действительными для прямоугольных треугольников.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
1. № 45, 46 Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под ред. Садовничего В.А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010.
2. Исходя из данных рисунка, назовите равные треугольники и докажите эти равенства. Учитывайте, что 
.
3. Острые углы прямоугольного треугольника относятся как 
. Найдите угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины прямого угла.
4. * На основании равнобедренного прямоугольного треугольника взяли точку 
, равноудалённую от боковых сторон. Докажите, что 
– высота треугольника.
