Определение, аксиома параллельности прямых
Прежде всего мы вспомним материал предыдущего урока. Параллельными называются прямые, которые не имеют общих точек, параллельные прямые не пересекаются.
Рис. 1. Параллельные прямые 
и 
Аксиома: через точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, притом только одну.
Рис. 2. Чертёж к аксиоме
При решении задач необходимо пользоваться свойствами некоторых углов при параллельных прямых и секущей.
Рис. 3. Углы при параллельных прямых и секущей
Углы 
, 
являются соответствующими, равно как и пары углов 
, 
; 
, 
и т.д.
Углы , 
называются внутренними накрест лежащими, равно как и пара углов , .
Углы 
, 
являются внутренними односторонними, равно как и 
, 
.
Сумма углов треугольника, виды треугольников
Рассмотрим важную теорему.
Теорема: сумма углов треугольника составляет 
. 
.
Рис. 4. Чертёж к теореме
Доказательство
Дополнительное построение: проведём прямую 
, параллельную 
и проходящую через точку 
. Рассмотрим углы при параллельных прямых и секущей 
. 
как внутренние накрест лежащие. 
. Углы 
,
, 
в сумме составляют развёрнутый угол. Как известно, развёрнутый угол составляет . Поэтому 
. Что и требовалось доказать.
В зависимости от градусных мер углов треугольника различают такие виды треугольников: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.
Рис. 5. Виды треугольников
На рисунке 5а изображён остроугольный треугольник, ведь все три угла данного треугольника меньше 
. На рисунке 5б изображён прямоугольный треугольник, ведь один из его углов – прямой, равен . На рисунке 5в изображён тупоугольный треугольник, так как один из его углов больше . Заметим, что в треугольнике не может быть двух углов больше или равных .
Неравенство треугольника
Рассмотрим понятие «неравенство треугольника». В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других сторон.
Рис. 10. Неравенство треугольника
Пусть 
– наибольшая сторона треугольника 
, тогда 
. Тем не менее, любая сторона больше разности двух других: 
.
Теорема о внешнем угле треугольника, связи между углами и сторонами треугольника
В данный момент рассмотрим понятие «внешний угол» треугольника.
Рис. 6. Внешний угол треугольника
Внешним углом треугольника называется угол, смежный любому углу треугольника. Таким образом, на рисунке рассмотрен внешний угол при вершине 
. Теорема гласит о том, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, несмежных с ним.
Доказательство очень простое. Поскольку углы 
и 
– смежные, то 
. С другой стороны, как углы треугольника. Отсюда следует, что 
. Выполним подстановку и получим, что 
. Следовательно, теорема доказана.
Опишем теперь взаимоотношения между сторонами треугольника. Как известно, в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла – бóльшая сторона.
Рис. 7. Внешний угол треугольника
Если 
, то 
. Но не стоит забывать, что в случае равенства двух углов следует равенство двух сторон. Этим можно пользоваться, применяя признак равнобедренного треугольника. Если в треугольнике два угла равны, треугольник равнобедренный по признаку.
Рис. 8. Равнобедренный треугольник
В прямоугольном треугольнике также действует данное правило.
Рис. 9. Прямоугольный треугольник
Поскольку 
, то другие углы треугольника точно не равны , они меньше . Следовательно, 
, 
. В прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы.
Пример 1
Теперь решим задачу №238 из учебника «Геометрия 7–9» Атанасяна Л.С.
Пример 1. На основании равнобедренного треугольника 
произвольно взяли точку 
. Докажите, что 
меньше боковой стороны треугольника.
Решение
Выполним пояснительный рисунок и выполним некоторые обозначения: 
, 
.
Запишем, что 
как внешний угол треугольника 
. Следовательно, 
, а значит, 
(в равнобедренном треугольнике углы при основании равны). В треугольнике 
против большей стороны лежит больший угол, поскольку , то противолежащие стороны имеют такое же соотношение: 
. Что и требовалось доказать.
Таким образом, мы вспомнили, как связаны стороны и углы треугольника.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- № 236, 237. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. под ред. Тихонова А.Н. Геометрия 7–9 классы. М.: Просвещение. 2010.
- Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины.
- Периметр равнобедренного треугольника равен
см, а разность двух других сторон равна 
см. Один из его внешних углов – острый. Найдите стороны треугольника. - Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен
см, а одна из сторон равна 
см. Найдите две другие стороны треугольника.
