В данный момент рассмотрим понятие «внешний угол» треугольника.

Внешний угол треугольника

Рис. 6. Внешний угол треугольника

Внешним углом треугольника называется угол, смежный любому углу треугольника. Таким образом, на рисунке рассмотрен внешний угол при вершине . Теорема гласит о том, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, несмежных с ним.

Доказательство очень простое. Поскольку углы и – смежные, то . С другой стороны, как углы треугольника. Отсюда следует, что . Выполним подстановку и получим, что . Следовательно, теорема доказана.

Опишем теперь взаимоотношения между сторонами треугольника. Как известно, в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла – бóльшая сторона.

Внешний угол треугольника

Рис. 7. Внешний угол треугольника

Если , то . Но не стоит забывать, что в случае равенства двух углов следует равенство двух сторон. Этим можно пользоваться, применяя признак равнобедренного треугольника. Если в треугольнике два угла равны, треугольник равнобедренный по признаку.

Равнобедренный треугольник

Рис. 8. Равнобедренный треугольник

В прямоугольном треугольнике также действует данное правило.

Прямоугольный треугольник

Рис. 9. Прямоугольный треугольник

Поскольку , то другие углы треугольника точно не равны , они меньше . Следовательно, , . В прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы.