Задача 1

Кошка сидит на середине лестницы, прислоненной к стене. Лестница начинает скользить по полу и по стене. Какова траектория движения кошки?

Решение

Вначале имеем такую ситуацию, когда лестница стоит у стены.

Чертёж 1 к задаче 1

Рис. 2. Чертёж 1 к задаче 1

В последний момент времени лестница будет лежать на полу.

Чертёж 2 к задаче 1

Рис. 3. Чертёж 2 к задаче 1

Что же происходит в промежуточный момент времени?

Чертёж 3 к задаче 1

Рис. 4. Чертёж 3 к задаче 1

, . Поэтому кошка опишет следующую траекторию.

Чертёж 4 к задаче 1

Рис. 5. Чертёж 4 к задаче 1

Доказать: если в прямоугольном треугольнике середину гипотенузы соединить с противоположной вершиной, то этот отрезок будет равен половине гипотенузы.

Решение

Выполним пояснительный рисунок.

Чертёж 5 к задаче 1

Рис. 6. Чертёж 5 к задаче 1

Отложим . Треугольник – равнобедренный, следовательно, .

. Значит, . А значит, треугольник также является равнобедренным. . . Медиана .

Мы доказали, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Теорема о медиане прямоугольного треугольника

Рис. 7. Теорема о медиане прямоугольного треугольника

Обратная теорема

Дано:. – медиана.

Доказать:.

Решение

Выполним пояснительный рисунок.

Чертёж к обратной теореме

Рис. 8. Чертёж к обратной теореме

Воспользуемся равенством отрезков. Пусть , тогда , поскольку треугольник – равнобедренный. Треугольник также равнобедренный. Пусть , тогда . . Значит, . .

Медиана .

Задача 2

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна . Один из острых углов . Найти гипотенузу.

Дано:, .

Найти:.

Решение

Выполним пояснительный рисунок.

Чертёж к задаче 2

Рис. 9. Чертёж к задаче 2

Проведём . . Этот угол лежит в прямоугольном треугольнике . Из треугольника следует, что гипотенуза , поскольку катет лежит против угла . Мы знаем, что . .

Ответ:.

На сегодняшнем уроке мы повторили опорные свойства прямоугольного треугольника и рассмотрели задачи, где эти свойства применяются. На следующем уроке повторим общую схему решения задач на построение.

Список рекомендованной литературы

Александров А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. и др. Геометрия 7. М.: Просвещение.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. М.: Просвещение.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под ред. Садовничего В.А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Mirmatematiki.ru (Источник).
Festival.1september.ru (Источник).
Festival.1september.ru (Источник).

Домашнее задание

№47. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под ред. Садовничего В.А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010.
Докажите методом от противного, что каждый угол прямоугольного треугольника не может быть тупым.
Найдите угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.
* На основании прямоугольного треугольника взята точка , равноудаленная от боковых сторон. Докажите, что – высота треугольника.