Задачи на прямоугольный треугольник

Повторение опорных фактов прямоугольного треугольника

Свойства прямоугольного треугольника:

1) ,

2) ,

3).

Рис. 1. Чертёж к свойствам прямоугольного треугольника

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольного треугольника:

1) по двум катетам,

2) по катету и прилежащему острому углу,

3) по гипотенузе и острому углу,

4) по гипотенузе и катету.

Решение задач

Задача 1

Кошка сидит на середине лестницы, прислоненной к стене. Лестница начинает скользить по полу и по стене. Какова траектория движения кошки?

Решение

Вначале имеем такую ситуацию, когда лестница стоит у стены.

Рис. 2. Чертёж 1 к задаче 1

В последний момент времени лестница будет лежать на полу.

Рис. 3. Чертёж 2 к задаче 1

Что же происходит в промежуточный момент времени?

Рис. 4. Чертёж 3 к задаче 1

, . Поэтому кошка опишет следующую траекторию.

Рис. 5. Чертёж 4 к задаче 1

Доказать: если в прямоугольном треугольнике середину гипотенузы соединить с противоположной вершиной, то этот отрезок будет равен половине гипотенузы.

Решение

Выполним пояснительный рисунок.

Рис. 6. Чертёж 5 к задаче 1

Отложим . Треугольник  – равнобедренный, следовательно, .

. Значит, . А значит, треугольник  также является равнобедренным. . . Медиана .

Мы доказали, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Рис. 7. Теорема о медиане прямоугольного треугольника

Обратная теорема

Дано:.  – медиана.

Доказать:.

Решение

Выполним пояснительный рисунок.

Рис. 8. Чертёж к обратной теореме

Воспользуемся равенством отрезков. Пусть , тогда , поскольку треугольник  – равнобедренный. Треугольник  также равнобедренный. Пусть , тогда . . Значит, . .

Медиана   .

Задача 2

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна . Один из острых углов . Найти гипотенузу.

Дано:, .

Найти:.

Решение

Выполним пояснительный рисунок.

Рис. 9. Чертёж к задаче 2

Проведём . . Этот угол лежит в прямоугольном треугольнике . Из треугольника  следует, что гипотенуза , поскольку катет  лежит против угла . Мы знаем, что . .

Ответ:.

На сегодняшнем уроке мы повторили опорные свойства прямоугольного треугольника и рассмотрели задачи, где эти свойства применяются. На следующем уроке повторим общую схему решения задач на построение.

 

Список рекомендованной литературы

1. Александров А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. и др. Геометрия 7. М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. М.: Просвещение.
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под ред. Садовничего В.А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Mirmatematiki.ru (Источник).  
2. Festival.1september.ru (Источник). 
3. Festival.1september.ru (Источник). 

 

Домашнее задание

1. №47. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под ред. Садовничего В.А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010.
2. Докажите методом от противного, что каждый угол прямоугольного треугольника не может быть тупым.
3. Найдите угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.
4. * На основании  прямоугольного треугольника  взята точка , равноудаленная от боковых сторон. Докажите, что  – высота треугольника.