Измерение углов

Повторение материала: что такое угол, что такое градус

Из материала предыдущих уроков мы знаем, что угол – это два луча, выходящие из этой точки. На рисунке 1 изображен угол∠АОВ или , названный в честь лучей, которые из этой точки выходят.

                                                         

Рис. 1. Угол  АОВ

Любой неразвернутый угол имеет внешнюю и внутреннюю области. К примеру, точка М принадлежит внутренней области ∠АОВ.

На предыдущих уроках мы выяснили, что равными фигурами называются те, которые можно совместить наложением. Мы уже умеем сравнивать отрезки. В данный момент мы будем учиться сравнивать углы.

Мы рассмотрели, что в случае, когда один угол является частью другого угла,  данные углы не равны. На рисунке 2 указано это соотношение.

                                                          

Рис. 2. Измерение углов

Однако насколько угол ∠СОА больше угла ∠ВОС? В этом случае нам необходимо ввести эталонный угол и единицы измерения. Рассмотрим рисунок 3.

 

                           

Рис. 3. Угол ∠АОВ – развернутый

В геометрии приняли развернутый угол за 180^о градусов. Это значит, если поделить развернутый угол на 180 частей, то градусная мера одной части будет равна 1^о. Таким образом, больший угол имеет большую градусную меру. Также можно вывести правило суммы градусных мер. К примеру, нам необходимо вычислить градусную меру угла ∠АОВ, а меры углов ∠ВОС и ∠СОА нам известны (см. рис. 2). В таком случае, ∠АОВ = ∠ВОС + ∠СОА. Градусную меру угла можно вычислить, к примеру, транспортиром. На рисунке 4 указаны углы, градусные меры которых равны 150^о и  45^о.

         

Рис. 4. Углы с указанными градусными мерами

Немаловажно уяснить, что углы могут измеряться в минутах и секундах. В одном градусе 60 минут: 1^о = 60^'. В одной минуте шестьдесят секунд 1' = 60^``.

Прямой, тупой и острый углы

В зависимости от величины градусной меры, различают острые, тупые и прямые углы.

   

Рис. 5. Острый, прямой и тупой углы

Прямой ∠АОВ = 90о

Острый 0 < ∠АОВ < 90o

Тупой 90o < ∠АОВ < 180o

Если градусная мера угла равна 90 градусов, то данный угол – прямой. В случае, если мера угла меньше 90⁰, угол острый, а если больше – тупой.

Решение задач

Рассмотрим несколько задач, чтобы закрепить пройденный материал.

Пример 1:

На рисунке изображен угол ∠АОВ, который делится точкой Е на два угла. Найдите градусную меру данного угла, если ∠АОЕ = 44^о, ∠ВОЕ = 77^о.

Рассмотрите случай, когда ∠АОЕ = 12^о37^/, ∠ВОЕ = 108^о25^/

Решение:

Выполним пояснительный рисунок к задаче:

                                                            

Рис. 6. Рисунок к примеру 1

По правилу суммы градусных мер углов, ∠АОВ = ∠ВОЕ + ∠ЕОА. Соответственно, подставим данные в условии значения и выполним подсчет.

1. ∠АОВ = ∠ВОЕ + ∠ЕОА = 44^о + 77^о = 121^о.

2. ∠АОВ =∠ВОЕ + ∠ЕОА = 12^о37^/ + 108^о25^/ = 121^о02^/.

Ответ: 121^о, 121^о02^/.

Пример 2:

На рисунке изображен угол ∠АОВ. Градусная мера данного угла составляет 78^о. Луч ОС делит данный угол на 2 угла. Найдите градусную меру угла ∠ВОС, если угол ∠СОА на 18^о меньше угла ∠ВОС.                         

                                             

Рис. 7. Рисунок к примеру 2

Решение:

Пусть градусная мера угла ∠ВОС равна х^о, тогда мера угла ∠СОА равна (х-18)^о. Поскольку их сумма будет равна 78^о (по условию), составим и решим уравнение:

Х + (х – 18) = 78

2х – 18 = 78

2х = 96

х = 48

Ответ: ∠ВОС = 48^о.

Пример 3:

Луч ОВ делит угол ∠АОС, градусная мера которого составляет 108^о, на 2 части. Найдите градусную меру угла ∠ВОА, если угол ∠ВОА в три раза больше угла ∠ВОС.

                                                              

Рис. 8. Рисунок к примеру 3

Решение:

Решаем эту задачу подобно предыдущей. Пусть градусная мера угла ∠ВОС равна х^о, тогда мера угла ∠ВОА равна (3х)^о. Поскольку их сумма будет равна 108^о (по условию), составим и решим уравнение:

Х + 3х = 108

4х = 108         

х = 27

Соответственно, мера угла ∠ВОА равна (3х)^о, то есть 81^о.

Ответ: 81^о.

Пример 4:

На рисунке изображен развернутый угол ∠АОD. Углы ∠ВОА и ∠СОD равны. Укажите, есть ли на рисунке еще равные углы?

Решение:

Выполним рисунок к задаче.

                                                                         

Рис. 9. Рисунок к примеру 4

Рассмотрим углы ∠АОС и ∠ВОD. Они состоят из равных между собой частей ∠ВОА и ∠СОD, а также общей части ∠ВОС. Выполним следующую запись:

Поскольку ∠ВОС – общий, а ∠АОB = ∠CОD (по условию), то ∠АОС = ∠ВОD.

Ответ: ∠АОС = ∠ВОD.

 

Список рекомендованной литературы

1. Александров  А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Измерение отрезков (Источник).
2. Обобщающий урок по геометрии в 7-м классе (Источник).
3. Прямая линия, отрезок (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 11. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

2. Укажите, чему равна мера угла ∠А, если ∠С = 18^о, а ∠В = 33^о. Сумма всех углов равна 180⁰.

3. Укажите, чему равна градусная мера угла ∠ВОА, если ∠АОС = 108^о, а ∠ВОС в 2 раза больше угла ∠ВОА.

 

4. *Найдите градусную меру угла ∠КОЕ, если ∠СОК = 99^о.