Понятие «перпендикулярные прямые», теорема о пересечении прямых
Рассмотрим частный случай смежных углов, если они оба равны.
Рис. 1. Угол ∠АОС
На рисунке изображены смежные углы ∠АОВ и ∠ВОС. α + β = 180o.
Рис. 2. Перпендикулярные прямые
Определение: Если пересекающиеся прямые образуют угол 90о, то они называются перпендикулярными. На рисунке 2 изображены перпендикулярные прямые АС и BD.
Обозначение перпендикулярных прямых следующее: .
Очевидно, что существует множество прямых, которые перпендикулярны данной прямой. Рассмотрим 2 из них.
Рис. 3. Перпендикулярные прямые
На рисунке 3 изображена прямая PQ и две прямые, которые перпендикулярны ей, AA1 и BB1. Докажем, что данные прямые не пересекаются между собой.
Докажем методом «от противного». Предположим, что прямые AA1 и BB1 пересекаются в точке , тогда существует и другая точка пересечения М в другой полуплоскости относительно прямой PQ. Соответственно, через 2 точки проходит две прямых, а это противоречит аксиоме. Наше изначальное предположение неверно, прямые AA1 и BB1 не пересекаются.
и
.
То есть две прямые, перпендикулярные третьей, не имеют общих точек между собой.
Решение задач
Рассмотрим следующие задачи:
Пример 1: Градусная мера угла ∠АОВ равна 90о. Луч СО делит данный угол на два. Найти градусную меру угла между биссектрисами образовавшихся ∠СОА и ∠ВОС.
Решение:
Выполним пояснительный рисунок:
Рис. 4. Чертеж к примеру 1
Пусть ∠ВОС = β, тогда ∠LOC = (OL – биссектриса). Пусть ∠СОА = α, тогда ∠СОМ =
(OМ – биссектриса). ∠LOM = ∠LОС + ∠СОM =
+
=
o.
Ответ: 45о.
Пример 2: Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.
Решение:
Рис. 5. Чертеж к примеру 2
Рассмотрим вертикальные углы ∠BOD и ∠СОА. Биссектрисы этих углов соответственно ОМ и ОL. Поскольку вертикальные углы равны, то пусть ∠BOD = ∠СОА = α. Тогда ∠МОВ = ∠СОL = . Угол ∠ВОС = β. Поскольку α и β – смежные, то α + β = 180о. Очевидно, чтобы доказать, что ОL и ОМ лежат на одной прямой, необходимо доказать, что угол ∠МОL – развернутый. Для этого выполним алгебраическое сложение: ∠ МОL = ∠МОВ + ∠ВОС + ∠СОL =
о.
Доказано.
Пример 3: Могут ли прямые AP и AQ быть перпендикулярными к прямой a?
Решение:
Рис. 6. Чертеж к примеру 3
Сама по себе прямая AQ может быть перпендикулярной прямой a. Также прямая АР тоже может быть перпендикулярна a. Поскольку прямые AP и AQ пересекаются, то одновременно перпендикулярными прямой a они быть не могут.
Ответ: Соотношение невозможно.
Список рекомендованной литературы
- Александров А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.
Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы
Рекомендованное домашнее задание
1. № 15. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.
2. Постройте перпендикулярные прямым прямые, проходящие через заданные точки.
3. Сколько пар прямых углов образуется при пересечении в одной точке трех пар взаимно перпендикулярных прямых?
4. Прямая ОС перпендикулярна прямой АВ. Углы 1 и 2 равны. Докажите, что углы АОЕ и КОВ равны.