Перпендикулярные прямые

Понятие «перпендикулярные прямые», теорема о пересечении прямых

Рассмотрим частный случай смежных углов, если они оба равны.

                                

Рис. 1. Угол ∠АОС

На рисунке изображены смежные углы ∠АОВ и ∠ВОС. α + β = 180^o.

                                          

Рис. 2. Перпендикулярные прямые

Определение: Если пересекающиеся прямые образуют угол 90^о, то они называются перпендикулярными. На рисунке 2 изображены перпендикулярные прямые АС и BD.

Обозначение перпендикулярных прямых следующее: .

Очевидно, что существует множество прямых, которые перпендикулярны данной прямой. Рассмотрим 2 из них.

                                          

Рис. 3. Перпендикулярные прямые

На рисунке 3 изображена прямая PQ и две прямые, которые перпендикулярны ей,  AA₁ и BB₁. Докажем, что данные прямые не пересекаются между собой.

Докажем методом «от противного». Предположим, что прямые  AA₁  и BB₁ пересекаются в точке , тогда существует и другая точка пересечения М в другой полуплоскости относительно прямой PQ. Соответственно, через 2 точки проходит две прямых, а это противоречит аксиоме. Наше изначальное предположение неверно, прямые AA₁ и BB₁ не пересекаются.

 и .

То есть две прямые, перпендикулярные третьей, не имеют общих точек между собой.

Решение задач

Рассмотрим следующие задачи:

Пример 1: Градусная мера угла ∠АОВ равна 90^о. Луч СО делит данный угол на два. Найти градусную меру угла между биссектрисами образовавшихся ∠СОА и ∠ВОС.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок:

                               

Рис. 4. Чертеж к примеру 1

Пусть ∠ВОС = β, тогда ∠LOC =  (OL – биссектриса). Пусть ∠СОА = α, тогда ∠СОМ =   (OМ – биссектриса). ∠LOM = ∠LОС + ∠СОM =  +  = ^o.

Ответ: 45^о.

Пример 2: Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Решение:

                 

Рис. 5. Чертеж к примеру 2

Рассмотрим вертикальные углы ∠BOD и ∠СОА. Биссектрисы этих углов соответственно ОМ и ОL. Поскольку вертикальные углы равны, то пусть  ∠BOD = ∠СОА = α. Тогда ∠МОВ  = ∠СОL = . Угол ∠ВОС = β. Поскольку α и β – смежные, то α + β = 180^о. Очевидно, чтобы доказать, что ОL и ОМ лежат на одной прямой, необходимо доказать, что угол ∠МОL – развернутый. Для этого выполним алгебраическое сложение: ∠ МОL = ∠МОВ + ∠ВОС + ∠СОL = ^о.

Доказано.

Пример 3: Могут ли прямые AP и AQ быть перпендикулярными к прямой a?

Решение:

                                                                 

Рис. 6. Чертеж к примеру 3

Сама по себе прямая AQ может быть перпендикулярной прямой a. Также прямая АР тоже может быть перпендикулярна a. Поскольку прямые AP и AQ пересекаются, то одновременно перпендикулярными прямой a они быть не могут.

Ответ: Соотношение невозможно.

 

Список рекомендованной литературы

1. Александров  А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Обобщающий урок по геометрии в 7-м классе (Источник).
2. Прямая линия, отрезок (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 15. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

2. Постройте перпендикулярные прямым прямые, проходящие через заданные точки.

3. Сколько пар прямых углов образуется при пересечении в одной точке трех пар взаимно перпендикулярных прямых?

4. Прямая ОС перпендикулярна прямой АВ. Углы 1 и 2 равны. Докажите, что углы АОЕ и КОВ равны.