Мы будем давать определения разным геометрическим фигурам, чтобы уметь их классифицировать и изучать.

Во время изучения мы будем получать различные свойства геометрических фигур, которые будем формулировать, например, так:

Через две точки можно провести прямую, причем только одну.
Диагонали прямоугольника равны.
Все стороны квадрата равны.

Это три верных утверждения. А откуда мы знаем, что они верные? Хочется сказать, что все они очевидны. Но на очевидность ссылаться нельзя. Очевидность не доказательство.

Геометрические иллюзии

Сравните длины двух отрезков (см. рис. 17).

Рис. 17. Кажется, что длины отрезков разные

Очевидно, отрезок длиннее отрезка . На самом деле они равны, в чем легко убедиться, совместив их (см. рис. 18).

Рис. 18. При совмещении отрезков видно, что их длины равны

Можно поклясться, что сторона длиннее, чем сторона (см. рис. 19).

Рис. 19. Кажется, что стороны не равны

Но это не так, они тоже равны (см. рис. 20).

Рис. 20. При совмещении сторон видно, что их длины равны

Очень сложно поверить, что четыре горизонтальные полоски параллельны. Но не надо верить, надо проверить (см. рис. 21).

Рис. 21. Параллельные горизонтальные полоски

Все это – примеры иллюзий – вещей, которые нам кажутся очевидно правильными, но опровергаются при тщательной проверке. Данные примеры убеждают нас, что кажущееся очевидным запросто может оказаться неверным, т. е. очевидность не может являться доказательством.

Утверждение можно считать верным только в том случае, если мы умеем его доказывать, опираясь на факты. Рассмотрим все три вышеперечисленных утверждения.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны (см. рис. 22).

Рис. 22. Все стороны квадрата равны

Поэтому на вопрос «Правда ли, что у квадрата все стороны равны?» можно смело отвечать: «Да, стороны равны по определению квадрата».

С прямоугольником чуть сложнее. Чтобы доказать равенство его диагоналей (см. рис. 23), потребуется провести доказательство (в частности, мы докажем, что равны треугольники и , т. е. что при наложении друг на друга эти треугольники совпадут). На следующих уроках мы подробно разберем это доказательство.

Рис. 23. Диагонали прямоугольника равны

Утверждения, которые мы будем доказывать, называются теоремами (иногда, если утверждение не очень важное или используется для доказательства более сложной теоремы, его называют леммой).

Самое простое, казалось бы, утверждение – через две точки можно провести прямую, причем только одну (см. рис. 24) – нам не удастся доказать. У нас нет верных утверждений, более простых, чем это, на которые мы могли бы сослаться при доказательстве.

Рис. 24. Через две точки можно провести прямую, причем только одну

Ситуация очень похожа на неопределяемые понятия. Какие-то фигуры мы считаем известными нам, несмотря на то что не даем им определения. Точно так же какие-то утверждения мы принимаем без доказательства. Просто договариваемся, что это так. Такие утверждения в математике называют аксиомами.

Повторим:

Есть неопределяемые понятия – те, которым мы не даем определения. Например, точка, прямая.
Остальным фигурам мы даем четкое определение. Например, отрезок – часть прямой, которая ограничена двумя точками.
Аксиома – утверждение, не требующее доказательства. Например: «через две точки можно провести прямую, причем только одну».
Теорема (лемма) – утверждение, которое можно доказать, используя определения, аксиомы и другие теоремы, доказанные ранее. Например, «в прямоугольнике диагонали равны».

Часто можно услышать: «Аксиому не нужно доказывать, потому что она очевидна». Это не так.

Другие аксиоматики

Среди аксиом геометрии одна имеет особенную историю. Она известна как «пятый постулат Евклида» и имеет очень много эквивалентных формулировок и других названий.

Приведем самую известную формулировку: «В плоскости через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной» (см. рис. 25).

Рис. 25. Иллюстрация к аксиоме

Долгое время математики пытались исключить ее из списка аксиом, доказав как теорему. Но ничего не получалось: в доказательстве всегда обнаруживалось другое утверждение, которое, по сути, являлось эквивалентным этому самому пятому постулату.

Более того, оказалось, что если заменить пятый постулат противоположным утверждением: «через точку вне прямой можно провести более одной параллельной прямой», то противоречия не будет. А появится новая геометрия.

Может возникнуть вопрос: что такое «новая геометрия»? Разве можно использовать разные модели в качестве инструментов для описания одних и тех же объектов?

На самом деле, все зависит от наших исходных целей и предположений. Например, расстояние между объектами можно описывать длиной отрезка, который их соединяет, а можно – временем, которое нужно затратить, чтобы добраться из одного в другой. Вот пример, когда расстояние между пунктами в первом случае будет гораздо меньше расстояния между пунктами , а во втором – гораздо больше (см. рис. 26).

Рис. 26. Расстояние между пунктами можно описывать длиной соединяющего их отрезка, а можно – временем

Соответственно, свойства и теоремы для введенных таким образом расстояний будут тоже отличаться. И оба подхода могут оказаться полезными для решения практических задач.

Геометрия, которую мы изучаем в школе, исходит из того, что пятый постулат Евклида верен, и называется евклидовой геометрией.

Геометрия, которая считает верным противоположное утверждение, называется геометрией Лобачевского. И тоже нашла свое применение для решения некоторых задач (например, она используется в физике в специальной теории относительности).

Пример пятого постулата Евклида показывает нам, что мы выбираем утверждение в качестве аксиомы совсем не из-за его очевидности (раз бывает верным и противоположное утверждение), а потому что мы решили использовать его в качестве кирпичика для построения того или иного инструмента под названием «геометрия».