Классы
Предметы

Признаки, свойства, определения. Аксиомы и теоремы

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Признаки, свойства, определения. Аксиомы и теоремы

Мы начинаем знакомство с одним из разделов математики – геометрией. Геометрия занимается изучением различных фигур и их свойств. Конечно, многие геометрические объекты (точка, отрезок, прямая, плоскость, треугольник, прямоугольник, квадрат, окружность и круг) мы уже знаем. Но теперь мы займемся систематизацией наших знаний, изучим различные универсальные подходы и инструменты, которые позволят не только изучать свойства фигур, но и решать с их помощью различные прикладные задачи. На этом уроке мы поговорим о «фундаменте» – геометрических аксиомах, с помощью которых будут доказываться остальные утверждения (теоремы), и базовых неопределяемых объектах, с помощью которых будут даваться определения другим геометрическим фигурам.

Характеристики фигур

Какой участок можно отделить веревкой? Можно отделить треугольный участок, квадратный, круглый (см. рис. 1).

Рис. 1. Фигуры (слева направо): треугольник, квадрат, круг

У всех этих фигур есть общая характеристика – длина их границы, т. е. периметр (длина веревки), но все они отличаются – и по форме, и по площади.

Представьте, что вам нужно выбрать кусок торта – какой вы выберете? (см. рис. 2). Оказывается, лучше выбрать круглый кусок торта, потому что у него наибольшая площадь среди представленных на рисунке фигур, а значит, и наибольший объем.

Рис. 2. Круглый кусок торта имеет наибольшую площадь и объем

Что такое площадь? Это характеристика фигуры. Иногда ее несложно рассчитать для некоторых фигур (например, для квадрата или прямоугольника) (см. рис. 3).

Рис. 3. Формулы для нахождения площадей квадрата и прямоугольника

А иногда не сразу понятно, как это сделать, например для круга (см. рис. 4).

Рис. 4. Формула для нахождения площади круга

Но само по себе понятие площади – это удобный инструмент для описания формы окружающих нас объектов.

Зачем нужна геометрия

Геометрия как раз занимается изучением таких инструментов. Занятия геометрией требуют значительных сил и времени. Возникает естественный вопрос: зачем это нужно?

Есть очевидные ответы, такие как:

  1. Это требуется в школе.
  2. Это необходимо для некоторых профессий (например, архитектор или учитель математики).

Ну, а в остальных случаях часто можно услышать фразу: «Зачем мне заниматься геометрией? В обычной жизни она не понадобится». Это верно. Так же верно, как «чтение книг/музыка/ умение рисовать в обычной жизни не понадобится».

Можно быть хорошим баскетболистом и не знать, что Земля круглая. Или быть Шерлоком Холмсом и не знать, что она вертится вокруг Солнца. Непосредственно на профессиональные навыки наличие и отсутствие этих знаний вряд ли повлияет.

Но любой человек видит вокруг себя столько, сколько он знает. И чем больше он начинает разбираться в какой-то области, тем больше замечает, как окружающий мир пронизан явлениями, связанными с этой областью. Так, художник, глядя на озеро в лесу, видит намного больше, чем человек, который никак не связан с живописью.

Какой формы должно быть крыло у самолета? Какими должны быть опоры у моста? Как должна лететь ракета, чтобы попасть в цель? На эти и многие другие вопросы специалисты отвечают с помощью геометрии.

Но даже тем, кто не свяжет свою жизнь со сферами, в которых используется геометрия, полезно понимать, что лежит в основе всех этих расчетов. Занятия геометрией, как и любой другой наукой, обогащают наш мир, позволяют нам видеть и понимать намного больше и тем самым делают нас счастливее и духовно обогащают, как бы пафосно это ни звучало.

Цепочка определений геометрических фигур

Чтобы научиться писать, нужно знать буквы. Точно так же для изучения любой другой области нужно начать с азов этой самой области – самых простых объектов и их свойств.

Чтобы построить дом, нужно понимать, что он состоит из кирпичей, и разобраться, какими свойствами они обладают.

Домами в геометрии являются фигуры (см. рис. 5). Фигуры в геометрии имеют точное описание, определение.

Рис. 5. Различные геометрические фигуры

Например, параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (см. рис. 6).

Рис. 6. Параллелограмм

Теперь можно задать вопрос, а что такое четырехугольник? У него тоже есть определение. Четырехугольник – это многоугольник с четырьмя вершинами (см. рис. 7).

Рис. 7. Примеры четырехугольников

Можно продолжать уточнять определения понятий, которые мы используем в определении. Каждый объект мы будем определять с помощью тех, что мы узнали раньше.

В детстве мы часто задаем взрослым вопрос: «Почему?», причем делать это можно до бесконечности. И рано или поздно даже у самых терпеливых взрослых заканчиваются ответы, потому что просто не остается более простых примеров, с помощью которых можно объяснить то или иное явление. Вернемся к нашей цепочке определений.

Многоугольник – это замкнутая ломаная (ломаная, у которой начало и конец совпадают) (см. рис. 8).

Рис. 8. Примеры многоугольников

Ломаная – это фигура из последовательных отрезков, где конец одного является началом другого (см. рис. 9).

Рис. 9. Примеры ломаных

Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками (см. рис. 10).

Рис. 10. Примеры отрезков

И вот мы добрались до понятий «точка» и «прямая» (см. рис. 11):

Рис. 11. Цепочка определений

Нам уже не удастся так же легко дать им определение. Хотя искушение велико. Ведь объекты очень простые.

Попробуйте сами дать определения. Если вы будете честны к себе, то поймете, что потерпели неудачу. Это происходит потому, что у нас нет более простых объектов, с помощью которых мы бы могли определить точку или прямую.

Базовые неопределяемые объекты

Объекты, которым мы не даем определения, называются основными геометрическими объектами. Или прямо так и говорят – неопределяемые понятия.

Вся геометрия строится вокруг нескольких простых объектов, которые мы не определяем: точка, прямая, плоскость (пока остановимся на этих трех). Почему именно они? Потому что это простые объекты, которые легко описываются и интуитивно понятны каждому.

На самом деле, один и тот же объект может иметь разную геометрическую форму, в зависимости от ситуации. Например, если мы решаем задачу, сколько времени автомобиль будет ехать из Москвы во Владивосток, то можем считать автомобиль точкой. Его размер совершенно неважен (см. рис. 12).

Рис. 12. Задача, в которой неважен размер автомобиля

Если же мы рассматриваем парковку автомобиля на стоянке, то, конечно, точкой считать его не сможем – нужно учитывать размеры (см. рис. 13).

Рис. 13. Задача, в которой важен размер автомобиля

Итак, точкой мы обозначаем любой объект, размеры которого очень малы по сравнению с остальными объектами в рамках решения поставленной задачи.

Дорога без поворотов, соединяющая два города, воспринимается нами как прямая. Мы понимаем, что именно по этой дороге проходит самый короткий путь между городами. При этом ширина дороги для нас неважна (см. рис. 14).

Рис. 14. Задача, для которой неважна ширина дороги

Но если мы переходим дорогу с интенсивным движением, то ширина становится важна и дорога – это уже не прямая, а какая-то полоса, т. е. прямоугольник (см. рис. 15).

Рис. 15. Задача, для которой важна ширина дороги

Если подвести итог:

  1. В геометрии есть несколько объектов, которым мы не даем определения. Они называются основными (базовыми) понятиями, основными фигурами, неопределяемыми понятиями (точка, прямая, плоскость и т. д.);
  2. Для всех остальных фигур существуют определения, в которых используются базовые неопределяемые объекты.

Задание 1 (необязательное). Дать определение ромбу (см. рис. 16). После этого дать определение той фигуре (или тем фигурам), которые использовались в этом определении. Далее продолжить раскручивать цепочку определений назад. В итоге вы должны дойти до неопределяемых понятий.

Рис. 16. Ромб

Теоремы и аксиомы

Мы будем давать определения разным геометрическим фигурам, чтобы уметь их классифицировать и изучать.

Во время изучения мы будем получать различные свойства геометрических фигур, которые будем формулировать, например, так:

  1. Через две точки можно провести прямую, причем только одну.
  2. Диагонали прямоугольника равны.
  3. Все стороны квадрата равны.

Это три верных утверждения. А откуда мы знаем, что они верные? Хочется сказать, что все они очевидны. Но на очевидность ссылаться нельзя. Очевидность не доказательство.

 


Геометрические иллюзии

Сравните длины двух отрезков (см. рис. 17).

Рис. 17. Кажется, что длины отрезков  разные

Очевидно, отрезок  длиннее отрезка . На самом деле они равны, в чем легко убедиться, совместив их (см. рис. 18).

Рис. 18. При совмещении отрезков видно, что их длины равны

Можно поклясться, что сторона  длиннее, чем сторона  (см. рис. 19).

Рис. 19. Кажется, что стороны  не равны

Но это не так, они тоже равны (см. рис. 20).

Рис. 20. При совмещении сторон видно, что их длины равны

Очень сложно поверить, что четыре горизонтальные полоски параллельны. Но не надо верить, надо проверить (см. рис. 21).

Рис. 21. Параллельные горизонтальные полоски

Все это – примеры иллюзий – вещей, которые нам кажутся очевидно правильными, но опровергаются при тщательной проверке. Данные примеры убеждают нас, что кажущееся очевидным запросто может оказаться неверным, т. е. очевидность не может являться доказательством.


 

Утверждение можно считать верным только в том случае, если мы умеем его доказывать, опираясь на факты. Рассмотрим все три вышеперечисленных утверждения.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны (см. рис. 22).

Рис. 22. Все стороны квадрата равны

Поэтому на вопрос «Правда ли, что у квадрата все стороны равны?» можно смело отвечать: «Да, стороны равны по определению квадрата».

С прямоугольником чуть сложнее. Чтобы доказать равенство его диагоналей (см. рис. 23), потребуется провести доказательство (в частности, мы докажем, что равны треугольники  и , т. е. что при наложении друг на друга эти треугольники совпадут). На следующих уроках мы подробно разберем это доказательство.

Рис. 23. Диагонали прямоугольника равны

Утверждения, которые мы будем доказывать, называются теоремами (иногда, если утверждение не очень важное или используется для доказательства более сложной теоремы, его называют леммой).

Самое простое, казалось бы, утверждение – через две точки можно провести прямую, причем только одну (см. рис. 24) – нам не удастся доказать. У нас нет верных утверждений, более простых, чем это, на которые мы могли бы сослаться при доказательстве.

 

Рис. 24. Через две точки можно провести прямую, причем только одну

Ситуация очень похожа на неопределяемые понятия. Какие-то фигуры мы считаем известными нам, несмотря на то что не даем им определения. Точно так же какие-то утверждения мы принимаем без доказательства. Просто договариваемся, что это так. Такие утверждения в математике называют аксиомами.

 

Повторим:

  1. Есть неопределяемые понятия – те, которым мы не даем определения. Например, точка, прямая.
  2. Остальным фигурам мы даем четкое определение. Например, отрезок – часть прямой, которая ограничена двумя точками.
  3. Аксиома – утверждение, не требующее доказательства. Например: «через две точки можно провести прямую, причем только одну».
  4. Теорема (лемма) – утверждение, которое можно доказать, используя определения, аксиомы и другие теоремы, доказанные ранее. Например, «в прямоугольнике диагонали равны».

Часто можно услышать: «Аксиому не нужно доказывать, потому что она очевидна». Это не так.

 


Другие аксиоматики

Среди аксиом геометрии одна имеет особенную историю. Она известна как «пятый постулат Евклида» и имеет очень много эквивалентных формулировок и других названий.

Приведем самую известную формулировку: «В плоскости через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной» (см. рис. 25).

Рис. 25. Иллюстрация к аксиоме

Долгое время математики пытались исключить ее из списка аксиом, доказав как теорему. Но ничего не получалось: в доказательстве всегда обнаруживалось другое утверждение, которое, по сути, являлось эквивалентным этому самому пятому постулату.

Более того, оказалось, что если заменить пятый постулат противоположным утверждением: «через точку вне прямой можно провести более одной параллельной прямой», то противоречия не будет. А появится новая геометрия.

Может возникнуть вопрос: что такое «новая геометрия»? Разве можно использовать разные модели в качестве инструментов для описания одних и тех же объектов?

На самом деле, все зависит от наших исходных целей и предположений. Например, расстояние между объектами можно описывать длиной отрезка, который их соединяет, а можно – временем, которое нужно затратить, чтобы добраться из одного в другой. Вот пример, когда расстояние между пунктами  в первом случае будет гораздо меньше расстояния между пунктами , а во втором – гораздо больше (см. рис. 26).

Рис. 26. Расстояние между пунктами можно описывать длиной соединяющего их отрезка, а можно – временем

Соответственно, свойства и теоремы для введенных таким образом расстояний будут тоже отличаться. И оба подхода могут оказаться полезными для решения практических задач.

Геометрия, которую мы изучаем в школе, исходит из того, что пятый постулат Евклида верен, и называется евклидовой геометрией.

Геометрия, которая считает верным противоположное утверждение, называется геометрией Лобачевского. И тоже нашла свое применение для решения некоторых задач (например, она используется в физике в специальной теории относительности).

Пример пятого постулата Евклида показывает нам, что мы выбираем утверждение в качестве аксиомы совсем не из-за его очевидности (раз бывает верным и противоположное утверждение), а потому что мы решили использовать его в качестве кирпичика для построения того или иного инструмента под названием «геометрия».


 

Основные аксиомы евклидовой геометрии

Аксиомы являются базовыми утверждениями, опираясь на которые, мы будем доказывать различные теоремы (естественно, речь идет о первых, самых простых теоремах, в дальнейшем уже эти доказанные теоремы будут использоваться для доказательства более сложных и т. д.).

Рассмотрим основные аксиомы евклидовой геометрии (это один из возможных вариантов, т. е. есть несколько эквивалентных наборов, но принципиально они не отличаются):

  1. Через любые две точки проходит единственная прямая.
  2. Каждая точка на прямой разбивает эту прямую на две части так, что точки из разных частей лежат по разные стороны от данной точки, а точки из одной части лежат по одну сторону от данной точки.
  3. На любом луче от его начала можно отложить только один отрезок, равный данному.
  4. Отрезки, полученные сложением или вычитанием соответственно равных отрезков, равны.
  5. Каждая прямая на плоскости разбивает эту плоскость на две полуплоскости. При этом если две точки принадлежат разным частям, то отрезок, соединяющий эти две точки, пересекается с прямой. Если две точки принадлежат одной части, то отрезок, соединяющий эти точки, не пересекается с прямой.
  6. От любого луча на плоскости в заданную сторону можно отложить только один угол, равный данному. Все развернутые углы равны.
  7. Углы, полученные сложением или вычитанием соответственно равных углов, равны.

Заучивать наизусть эти аксиомы не нужно. Если на какие-то из них нужно будет сослаться при доказательстве, достаточно будет просто иметь этот список перед глазами.

Свойства и признаки

Теперь, имея список аксиом, мы можем начинать доказывать теоремы. Среди теорем есть два типа утверждений, которые мы будем встречать достаточно часто. Обычно они будут появляться при изучении новых фигур. Это свойства и признаки.

Свойства и признаки – понятия из обычной жизни, которые мы хорошо умеем различать. Например, свойство воды: предмет, погруженный в нее, намокает.

Свойство – это такое утверждение, которое обязательно должно выполняться для данного типа объектов. Если я человек, то у меня есть голова. Это свойство любого человека. А у дерева такого свойства нет.

Понятно, что указанное свойство может быть присуще не только этому типу объектов. У любой лошади тоже есть голова.

Пример геометрического свойства мы уже на этом уроке приводили: у прямоугольника диагонали равны. Это верно для любого прямоугольника, поэтому это – свойство.

Может ли такое свойство встретиться у другого типа четырехугольника? Может. Как и, например, голова есть не только у человека.

Второй тип утверждений – признак. Тоже понятно, что это такое. Признак – это то, по чему мы однозначно распознаем объект.

Яркое солнце в небе – верный признак того, что сейчас день. Если человек ходит в очках с толстыми стеклами – это верный признак того, что у него плохое зрение. Являются ли толстые очки свойством плохого зрения? Вовсе нет. Близорукий человек может ходить без очков, в линзах. Обязательно ли днем должно быть яркое солнце? Понятно, нет, т. е. это не свойство дня.

Давайте подумаем, является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника. У такого четырехугольника, где  см (см. рис. 27), диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не признак прямоугольника.

Рис. 27. Четырехугольник с равными диагоналями, не являющийся прямоугольником

Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны ( и ) и диагонали равны ( см), то это уже является верным признаком прямоугольника (см. рис. 28).

Рис. 28. Прямоугольник

Бывает, что и свойство, и признак эквивалентны. Молния – это верный признак грозы. Ни у какого другого природного явлении молнии не бывает. Но если происходит гроза, то молния обязательна. Т. е. молния – это не только признак, но и свойство грозы.

Такие утверждения часто называют необходимым и достаточным признаком.

 

Заключение

Итак, повторим:

  1. Существуют неопределяемые понятия. Их немного, и их нужно знать.
  2. Фигур и определений много. Нужно знать определения тех фигур, с которыми мы работаем в данный момент. Если вы забыли какое-то определение, попробуйте вывести его самостоятельно, а затем проверьте себя.
  3. Аксиом немного, помнить их наизусть не нужно, но полезно иметь список аксиом перед глазами.
  4. Теорем много. Нужно учиться их доказывать, опираясь на все те знания, которые мы получили перед этим – аксиомы и уже доказанные теоремы.

Чтобы начать заниматься геометрией, нужно запомнить основные правила и не нарушать их. Правил немного, они несложные. Если все делать правильно, то достаточно быстро занятия геометрией начнут приносить вам удовольствие, появится азарт, вы будете стараться решать те или иные задачи, а оттачивать мастерство можно хоть всю жизнь.

 

Список литературы

  1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия. 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2014.
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия. 8 класс. Учебник/Под ред. Садовничего В.А. – М.: «Просвещение», 2017.
  3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия. 8 класс. Учебник. – М.: «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)
  2. Интернет-портал math-«prosto.ru» (Источник)
  3. Интернет-портал «схемо.рф» (Источник)

 

Домашнее задание

  1. Дать определение треугольнику, после этого – определения тем фигурам, которые использовались в этом определении, и т. д., в итоге дойти до неопределяемых понятий.
  2. Провести прямую  и отметить на ней точки . Затем отметить на этой прямой точку , лежащую между точками  и , и точку  так, чтобы точка  лежала между  и . Назвать последовательно точки, отмеченные на прямой .
  3. Провести прямую  и отметить на ней точки . Сколько отрезков получилось на прямой?