Прямая и отрезок

Введение

Мы начинаем изучение геометрии. Это древняя наука, возникла еще за 300 лет до нашей эры. В переводе с греческого «геометрия» – «землемерие», изучает она геометрические фигуры и их свойства.

Подразделяется на два больших раздела:

- планиметрия – геометрия на плоскости,

- стереометрия – геометрия в пространстве.

Примеры плоских фигур – треугольник, окружность и т.д. Мы с ними знакомы.

Мы знакомы и с пространственными фигурами – шар, куб, параллелепипед и т.д., т.е. геометрия – вокруг нас.

Мы сказали, что геометрия изучает свойства геометрических фигур.

А что такое геометрическая фигура? Это любое множество, любая совокупность точек.

Точки обозначают большими латинскими буквами.

Понятие о прямой дает тонкая нить, продолженная бесконечно в обе стороны.

Точка и прямая – это неопределимое изначальное понятие, это математическая идеализация – размеров они не имеют.

Если точки обозначаются большими буквами, то прямая может обозначаться маленькими латинскими буквами.

Обрисуем в общих чертах, как строится геометрия. Мы упомянули два понятия: точка, прямая . Это изначальные неопределимые понятия, их свойства выражаются в аксиомах, т.е. в истинах, которые не требуют доказательств.

Определение других фигур, например, окружности, шара и т.д., доказываются теоремами, таким образом, изучаются свойства геометрических фигур. Итак, все грандиозное здание геометрии базируется, во-первых, на неопределенных понятиях, во-вторых, на аксиомах.

Давайте сформулируем три важнейшие аксиомы, которые характеризуют взаимное расположение точек и прямых и рассмотрим их.

Аксиома 1

Аксиома 1: каждой прямой принадлежит по крайней мере две точки(см. рис. 1).

Рис. 1. Две точки на одной прямой

Пояснение: аксиома – истина, не требующая доказательств. Разве мы не понимаем, что на каждой прямой есть как минимум две точки? Так вот математика фиксирует это в качестве аксиом.

Вторая аксиома также понятна.

Аксиома 2

Аксиома 2: имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой (см. рис. 2).

Рис. 2. Три точки, не лежащие на одной прямой

Пояснение: в соответствии с аксиомой 2 имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. Это точки , ,  (см. рис. 2).

Аксиома 3

Аксиома 3: через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

Пояснение: мы множество раз прикладывали линейку к двум точкам и проводили отрезок – часть прямой. Что говорит аксиома? Что через эти две точки проходит прямая, и притом только одна. Вроде бы это понятно. Но если одна точка на Земле, а вторая на Луне? Как проверить, одна прямая проходит или нет? Линейку мы не проложим. Так вот, аксиома утверждает, что даже через эти две точки проходит только одна прямая! (см. рис. 3)

Рис. 3. Аксиома 3 верна при больших расстояниях

Другой крайний случай: точки очень близко расположены друг к другу. Две песчинки. Если мы приложим линейку, то довольно трудно провести прямую. Так вот, аксиома утверждает: через любые две точки – и близкие, и далекие – проходит прямая, и притом только одна (см. рис. 4).

Рис. 4. Аксиома 3 верна при малых расстояниях

Далее изучим знак принадлежности.

Знак принадлежности

Тот факт, что точка  принадлежит прямой , записывается следующим образом: .

Точка  также принадлежит прямой : .

Точка  – не принадлежит прямой : .

Точка  не принадлежит прямой : .

Точка  не принадлежит прямой : .

Итак, согласно аксиомам, есть точки, лежащие на прямой, а есть точки, не лежащие на прямой. То есть плоскость богаче, чем одна прямая. Мы много раз с этим сталкивались и не будем возражать против этих аксиом.

Итак, мы знаем два неопределимых понятия – точка, прямая; знаем три аксиомы, которые характеризуют взаимное расположение точек и прямых.

Познакомимся с еще одним неопределимым понятием, изначальным понятием – «лежать между».Есть прямая, есть три точки, и только одна лежит между двумя точками. Этот факт очевидный, но тем не менее тот факт фиксируется в следующей аксиоме.

Аксиома 4

Аксиома 4: из трех точек, лежащих на одной прямой, одна и только одна лежит между двумя другими.

Рис. 5. Аксиома 4

Пояснение: в данном случае точка  лежит между точкой  и точкой . По-иному, точки  и  лежат по одну сторону от точки , точки  и  лежат по одну сторону от точки , и точки  и  лежат по разные стороны от точки  (см. рис. 5).

Ясно, что истину мы принимаем без доказательства и возражать против нее не будем.

Мы рассмотрели четвертую аксиому, которая говорит о двух точках, которые лежат по одну сторону от третей точки.

Аксиома 5

Аксиома 5 говорит о других точках, которые лежат по одну сторону от данной точки. Она будет рассмотрена позже.

На данный момент мы имеем три неопределимых понятия: точка, прямая, «лежать между». Имеем пять аксиом, которые характеризуют взаимоотношения между этими понятиями. Пора нам дать определение важной геометрической фигуре – отрезку.

Что же такое отрезок?

Отрезком  называется геометрическая фигура, состоящая из точек , , и всех точек прямой, расположенных между точками  и .

Более краткое: отрезок – это часть прямой, ограниченная точками  и  (см. рис. 6).

Рис. 6. Отрезок

Точки  и  называются концами отрезка. Отрезок обозначается так же, как и прямая. Прямая может обозначаться двумя точками, лежащими на ней, – , и отрезок может обозначаться таким же образом – . Из контекста ясно, когда речь идет о прямой и когда речь идет об отрезке. Данный отрезок лежит на прямой, у прямой и отрезка бесчисленное множество общих точек.

Могут быть другие случаи. Есть прямая , отрезок  – это часть другой прямой. Отрезок  и прямая  не имеют общих точек. Говорят, что точки  и  лежат по одну сторону от прямой  (см. рис. 7).

Рис. 7. Точки  и  лежат по одну сторону от прямой

Отрезок , прямая . Точки  и  лежат по разные стороны от прямой , значит, отрезок  имеет одну общую точку  с прямой. Точка  лежит между точками  и  (см. рис. 8). Этот факт понятен нам из интуитивных соображений, но тем не менее он регламентируется аксиомой 6. Она будет подробно рассмотрена в конце урока.

Рис. 8. Точки  и  лежат по разные стороны от прямой

Отрезок  лежит на прямой . Прямая  и прямая  имеют одну общую точку . А могут ли прямые иметь еще общие точки, ведь прямые простираются неограниченно? Может, где-то на Луне они еще пересекутся и будет еще одна общая точка?

Нам пора доказать важную первую теорему, первую в этом курсе.

Теорема 1

Теорема 1: две разные прямые не могут иметь более одной общей точки.

Доказательство: для доказательства используем метод от противного. Имеем прямую , прямую , которые имеют одну общую точку . Предположим, что существует другая общая точка  (см. рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к теореме 1

Точки  и  – разные, но по третьей аксиоме мы говорим, что через две точки может проходить прямая, и притом только одна. А у нас, по условию, прямая  и прямая  – это разные прямые, таким образом, вступаем в противоречие с аксиомой 3, значит, наше предположение о наличии второй общей точки неверное. Прямая  и прямая  не могут иметь второй общей точки.

Теорема доказана.

Заключение

Итак, из краткого изложения теоретической части этого урока все же понятно, как в общих чертах строится все здание геометрии.

1)                 Вводятся неопределимые понятия (в этом уроке – точка, прямая, «лежать между»).

2)                 Вводится система аксиом, мы видели 5 аксиом, которые характеризуют свойства этих неопределимых понятий. Дальше даются новые понятия, например, отрезок – часть прямой, расположенная между двумя точками этой прямой. Далее формулируется и доказывается теорема, которая раскрывает свойства геометрических фигур. Мы такую теорему доказали. Две прямые не могут иметь более одной общей точки.

На этом теоретическая часть урока закончена. Теперь мы в состоянии решить некоторые практические задания.

Задание 1

Проведите прямую, обозначьте ее буквой  и отметьте точки  и , лежащие на этой прямой, и точки , , , не лежащие на ней. Опишите взаимное расположение точек , , , ,  и прямой , используя символы  и .

Рис. 10. Иллюстрация к заданию 1

, , , , .

Задание 2

Проведите три различные прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Сколько получилось точек пересечения? Рассмотрите все возможные случаи.

Решение

a)                  Проведем три прямые, обозначим их как , , . Обозначим точки пересечения этих прямых – , , . Как мы видим, есть всего три точки.

Рис. 11. Иллюстрация к заданию 2 (а)

b)                 Проведем три прямых , ,  так, чтобы они пересеклись в одной точке .

Рис. 12. Иллюстрация к заданию 2 (b)

Задание 3

Отметьте различные точки , , ,  так, чтобы точки , ,  лежали на одной прямой, а точка  не лежала на ней. Через каждые две точки проведите прямую. Сколько получилось прямых?

Решение

Проведем прямую , обозначим на ней точки , , , и точку , не лежащую на прямой .

Проведем прямые через точки:  и ,  и ,  и .

Рис. 13. Иллюстрация к заданию 3

Всего получилось четыре прямые.

Ответ: четыре прямые: , , , .

Задание 4

Есть прямая, на ней отмечены точки , , ,  (см. рис. 14). Назовите все отрезки:

Рис. 14. Иллюстрация к заданию 4

a) на которых лежит точка .

Ответ: , , , , .

b) на которых не лежит точка .

Ответ: .

Аксиома 5: ранее мы встречались с важным неопределимым понятием «лежать между».

Его свойства в аксиоме 5: каждая точка  прямой разделяет ее на две части (два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки , а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки .

Пояснение: точки  и  лежат по одну сторону – справа от точки , точки  и  лежат по другую сторону от точки  – слева от нее (см. рис. 15). Точки  и  лежат по разные стороны от точки .

Рис. 15. Иллюстрация к аксиоме 5

Аксиома 6: две точки  и  и весь отрезок  может лежать по одну сторону от прямой , точки  и  могут лежать по разные стороны от прямой . Это регламентируется аксиомой 6.

Каждая прямая  разделяет плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой , а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой .

Прямая  называется границей каждой из указанных полуплоскостей, ее точки не принадлежат ни одной из этих полуплоскостей.

Пояснение: есть прямая , две полуплоскости (над прямой и под прямой), точки  и , которые лежат в одной полуплоскости, точки  и , которые лежат в разных полуплоскостях. Отрезок  не имеет общих точек с прямой , его концы – точки  и  лежат по одну сторону от прямой . А отрезок  пересекается с прямой  в некоторой точке , точка  лежит между точками  и . Точки  и , концы отрезка , лежат по разные стороны от прямой . Такова формулировка и пояснение аксиомы 6 (см. рис. 16).

Рис. 16. Иллюстрация к аксиоме 6

 

Список рекомендованной литературы

1. Александров  А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Урок геометрии по теме «Прямая и отрезок» (Источник).
2. Прямая и отрезок. Луч и угол. 7 класс (Источник).
3. Задачи для самостоятельной работы №1, «Прямая, отрезок, луч, угол» (Источник).

 

Домашнее задание

1. Даны прямая и четыре точки , ,  и , не лежащие на этой прямой. Пересекает ли прямую отрезок , если: 1) отрезки ,  и  пересекают прямую; 2) отрезки  и  пересекают прямую, а отрезок  не пересекает; 3) отрезки  и  пересекают прямую, а отрезок  не пересекает; 4) отрезки  и  не пересекают прямую, а отрезок  пересекает; 5) отрезки , ,  не пересекают прямую; 6) отрезки ,  и  пересекают прямую? Объясните ответ.
2. Начертите прямые и ,пересекающиеся в точке .На прямой отметьте точку , отличную от точки .
3. Равные отрезки  и  лежат на одной прямой. Какая из точек , , или  лежит между двумя другими?