Аксиома 5 говорит о других точках, которые лежат по одну сторону от данной точки.

Аксиома 5

Ранее мы встречались с важным неопределимым понятием «лежать между».

Его свойства в аксиоме 5: каждая точка прямой разделяет ее на две части (два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки , а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки .

Пояснение: точки и лежат по одну сторону – справа от точки , точки и лежат по другую сторону от точки – слева от нее (см. рис. 15). Точки и лежат по разные стороны от точки .

Рис. 15. Иллюстрация к аксиоме 5

На данный момент мы имеем три неопределимых понятия: точка, прямая, «лежать между». Имеем пять аксиом, которые характеризуют взаимоотношения между этими понятиями. Пора нам дать определение важной геометрической фигуре – отрезку.

Что же такое отрезок?

Отрезком называется геометрическая фигура, состоящая из точек , , и всех точек прямой, расположенных между точками и .

Более краткое: отрезок – это часть прямой, ограниченная точками и (см. рис. 6).

Рис. 6. Отрезок

Точки и называются концами отрезка. Отрезок обозначается так же, как и прямая. Прямая может обозначаться двумя точками, лежащими на ней, – , и отрезок может обозначаться таким же образом – . Из контекста ясно, когда речь идет о прямой и когда речь идет об отрезке. Данный отрезок лежит на прямой, у прямой и отрезка бесчисленное множество общих точек.

Могут быть другие случаи. Есть прямая , отрезок – это часть другой прямой. Отрезок и прямая не имеют общих точек. Говорят, что точки и лежат по одну сторону от прямой (см. рис. 7).

Рис. 7. Точки и лежат по одну сторону от прямой

Отрезок , прямая . Точки и лежат по разные стороны от прямой , значит, отрезок имеет одну общую точку с прямой. Точка лежит между точками и (см. рис. 8). Этот факт понятен нам из интуитивных соображений, но тем не менее он регламентируется аксиомой 6. Она будет подробно рассмотрена позже.

Рис. 8. Точки и лежат по разные стороны от прямой

Отрезок лежит на прямой . Прямая и прямая имеют одну общую точку . А могут ли прямые иметь еще общие точки, ведь прямые простираются неограниченно? Может, где-то на Луне они еще пересекутся и будет еще одна общая точка?

Аксиома 6

Две точки и и весь отрезок может лежать по одну сторону от прямой , точки и могут лежать по разные стороны от прямой . Это регламентируется аксиомой 6.

Каждая прямая разделяет плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой , а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой .

Прямая называется границей каждой из указанных полуплоскостей, ее точки не принадлежат ни одной из этих полуплоскостей.

Пояснение: есть прямая , две полуплоскости (над прямой и под прямой), точки и , которые лежат в одной полуплоскости, точки и , которые лежат в разных полуплоскостях. Отрезок не имеет общих точек с прямой , его концы – точки и лежат по одну сторону от прямой . А отрезок пересекается с прямой в некоторой точке , точка лежит между точками и . Точки и , концы отрезка , лежат по разные стороны от прямой . Такова формулировка и пояснение аксиомы 6 (см. рис. 16).

Рис. 16. Иллюстрация к аксиоме 6

Нам пора доказать важную первую теорему, первую в этом курсе.