Решение более сложных задач

Повторение начальных геометрических сведений

Вспомним сведения, изученные в текущей теме:

- Аксиома. Через две точки можно провести прямую, и только одну.

- Прямые на плоскости могут пересекаться.

- Пересекающиеся прямые задают два типа углов – смежные и вертикальные.

- Теорема о сумме смежных углов. Сумма смежных углов 180^о.

- Вертикальные углы равны. Если хотя бы один из вертикальных углов 90^о, прямые перпендикулярны.

- Прямые, перпендикулярные другой прямой, не имеют общих точек.

- Прямые могут не иметь общих точек.

- Прямые могут совпадать и иметь бесконечное множество общих точек.

Аксиома гласит, что через две точки (разные точки, которые не совпадают друг с другом) можно провести прямую, и только одну. 

                                

Рис. 1. Рисунок к аксиоме о точках и прямой

Прямые на плоскости могут иметь три варианта расположения. Они могут пересекаться. В таком случае образуются смежные и вертикальные углы.

На рисунке 2 изображены 4 пары смежных углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1.

        

Рис. 2. Смежные и вертикальные углы

Известно, что сумма смежных углов 180^о.

Также на рисунке изображены вертикальные углы: 1 и 3, 2 и 4. Вертикальные углы равны между собой. 

Второй случай расположения прямых – прямые не имеют общих точек. В данной теме мы рассматривали этот факт в следующем контексте: прямые, перпендикулярные другой прямой, не имеют общих точек, что изображено на рисунке 3.

                                         

Рис. 3. Перпендикулярные прямые

Третий случай расположения прямых – они совпадают. Таким образом, они имеют бесконечное множество общих точек. По сути, это одна и та же прямая.

Вспомним определение смежных углов. Данные углы имеют общую сторону, а две другие являются продолжением другой. Вертикальные углы являются таковыми, если стороны одного угла являются продолжениями сторон для другого. Вертикальные углы равны.

Частный случай смежных и вертикальных углов – все подобные углы равны 90^о. В таком случае прямые, образующие эти прямые, называются перпендикулярными.

Пример 1

Рассмотрим некоторые задачи:

Пример 1: Три прямые пересекаются в одной точке. Найдите сумму углов ∠1 + ∠2 + ∠3 и  ∠4 + ∠5 + ∠6.

Решение:

                                     

Рис. 4. Чертеж к примеру 1

∠2 = ∠4 как вертикальные. Следовательно, ∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠1 + ∠4 + ∠3 = 180^о, так как они образуют развернутый угол. ∠5 = ∠3 как вертикальные, поэтому ∠4 + ∠5 + ∠6 = ∠4 + ∠3 + ∠6 = 180^о.

Ответ: 180^о.

Пример 2

Пример 2: При пересечении двух прямых образовались два угла, один из которых на 60^о больше другого. Найдите эти углы.

Решение:        

Рис. 5. Чертеж к примеру 2

Исходя из того, что сумма углов α и β равна 180^о, как смежных, а угол α на 60^о больше, чем β, составим и решим систему уравнений:

Ответ: Данные углы равны 60 ^о, 60 ^о, 120 ^о, 120 ^о.

Пример 3

Пример 3: Из точки О проведены лучи ОА, ОВ и ОС, причем ОВ⊥ОА. Угол, образованный биссектрисами углов ∠АОВ и ∠ВОС, равен 75^о. Найдите углы ∠АОВ, ∠ВОС и ∠АОС.

Решение:

              

Рис. 6. Чертеж к примеру 3

Пусть угол ∠АОВ = α, тогда угол ∠LOB = ∠LOA = 45^o =  (так как LO – биссектриса). Аналогично ∠СОВ = β, тогда угол ∠МOB = ∠МOС = . Получается, что ∠LOM = ∠LOB + ∠BOM =  = 75^o. Отсюда .

∠АОС = α + β = .

∠ВОМ = ∠ВОС = 60^о.

Ответ: 90^о, 60^о, 150^о.

Пример 4

Пример 4:  Из точки О проведены лучи ОА, ОВ и ОС, причем ОВ⊥ОА. Лучи ОL и ОМ – биссектрисы углов ∠АОВ и ∠ВОС. Доказать, что ∠AOС = 2∠LOM.

Решение:

                              

Рис. 7. Чертеж к примеру 4

Обозначим угол ∠ВОС = α, ∠АОВ = β. ∠ LOA = ∠LOВ =  (ОL – биссектриса). ∠МОВ = ∠МОС = . ∠ LOM = ∠МОВ + ∠LOВ = . ⇒

Доказано.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Геометрические задачи (Источник).
2. Обобщающий урок по геометрии в 7-м классе (Источник).
3. Прямая линия, отрезок (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 13, 17. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А.  – М.: Просвещение, 2010.
2. В результате пересечения двух прямых образовалось 4 угла, каждый из которых меньше развернутого. Найдите эти углы, если их градусные меры относятся как 5:1.
3. Правильно ли утверждать, что перпендикуляром к прямой называется любой отрезок, перпендикулярный данной?
4. * Один из смежных углов в два раза больше разности между ними. Определите эти углы.