Понятие «смежные углы», сумма смежных углов
Начнем наш урок с понятия «смежные углы». На рисунке 1 изображен развернутый угол ∠АОС и луч ОВ, который делит данный угол на 2 угла.
Рис. 1. Угол ∠АОС
Рассмотрим углы ∠АОВ и ∠ВОС. Вполне очевидно, что они имеют общую сторону ВО, а стороны АО и ОС являются противолежащими. Лучи ОА и ОС дополняют друг друга, а значит, они лежат на одной прямой. Углы ∠АОВ и ∠ВОС являются смежными.
Определение: Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными.
Теорема 1: Сумма смежных углов – 180о.
Рис. 2. Чертеж к теореме 1
∠МОL + ∠LON = 180o. Данное утверждение является верным, так как луч OL делит развернутый угол ∠MON на два смежных угла. То есть мы не знаем градусных мер ни одного из смежных углов, а знаем лишь их сумму – 180о.
Вертикальные углы
Рассмотрим пересечение двух прямых. На рисунке изображено пересечение двух прямых 
в точке О.
Рис. 3. Вертикальные углы ∠ВОА и ∠СОD
Определение: Если стороны одного угла являются продолжением второго угла, то такие углы называются вертикальными. Именно поэтому на рисунке изображено две пары вертикальных углов: ∠АОВ и ∠СОD, а также ∠AOD и ∠ВОС.
Теорема 2: Вертикальные углы равны.
Используем рисунок 3. Рассмотрим развернутый угол ∠АОС. ∠АОВ = ∠АОС – ∠ВОС = 180о – β. Рассмотрим развернутый угол ∠ВОD. ∠CОD = ∠BОD – ∠BОС = 180о – β.
Из этих соображений мы делаем вывод, что ∠АОВ = ∠СОD = α. Аналогично, ∠AOD = ∠ВОС = β.
Следствия из теорем о смежных и вертикальных углах
Следствие 1: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90о.
Рис. 4. Чертеж к следствию 1
Поскольку ОL – биссектриса угла ∠ВОА, то угол ∠LOB = 
, аналогично ∠ВОК = 
. ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = 
. Сумма углов α + β равна 180о, поскольку данные углы – смежные.
Следствие 2: Угол между биссектрисами вертикальных углов равен 180о.
Рис. 5. Чертеж к следствию 2
KO – биссектриса ∠AOB, LO – биссектриса ∠COD. Очевидно, что ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = 
o. Сумма углов α + β равна 180о, так как данные углы – смежные.
Задачи
Рассмотрим некоторые задачи:
Пример 1:
Найдите угол, смежный с ∠АOС, если ∠АOС = 111о.
Решение:
Выполним чертеж к задаче:
Рис. 6. Чертеж к примеру 1
Решение
Поскольку ∠АОС = β и ∠СOD = α смежные углы, то α + β = 180о. То есть 111о + β = 180о.
Значит, β = 69о.
Этот тип задач эксплуатирует теорему о сумме смежных углов.
Пример 2:
Один из смежных углов прямой, каким (острым, тупым или прямым) является другой угол?
Решение:
Если один из углов прямой, а сумма двух углов 180о, то и другой угол тоже прямой. Эта задача проверяет знания о сумме смежных углов.
Пример 3:
Верно ли, что если смежные углы равны, то они прямые?
Решение:
Составим уравнение: α + β = 180о, но поскольку α = β, то β + β = 180о, значит, β = 90о.
Ответ: Да, утверждение верно.
Пример 4:
Даны два равных угла. Верно ли, что и смежные им углы тоже будут равны?
Решение:
Рис. 7. Чертеж к примеру 4
Если два угла равны α, то соответствующие им смежные углы будут 180о – α. То есть они будут равны между собой.
Ответ: Утверждение верно.
Список рекомендованной литературы
- Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.
- \Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под редакцией В.А. Садовничего. – М.: Просвещение, 2010.
Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы
- Измерение отрезков (Источник).
- Обобщающий урок по геометрии в 7-м классе (Источник).
- Прямая линия, отрезок (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
- № 13, 14. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под редакцией В.А. Садовничего. – М.: Просвещение, 2010.
- Найдите два смежных угла, если один из них в 4 раза больше другого.
- Дан угол. Постройте для него смежный и вертикальный углы. Сколько таких углов можно построить?
- * В каком случае получается больше пар вертикальных углов: при пересечении трех прямых в одной точке или в трех точках?
