Как и в случае с отрезками, нам может быть недостаточно сравнения типа «больше – меньше». Поэтому углы тоже нужно измерять. Измерение – это сравнение с эталоном. Но измерение углов отличается от измерения отрезков (и большинства других величин в математике).

Обратите внимание, что длина отрезка может быть сколь угодно большой (у нее нет верхнего предела). Углы же, по сути, ограничены полным углом, т. е. для измерения углов есть верхний предел.

Есть и еще одно обстоятельство: величина угла не зависит от того, какую часть его сторон мы изобразим. Если рассмотреть угол, затем продлить его стороны и рассмотреть еще один угол (см. рис. 22), то они будут равными, т. к. у них совпадают вершины и лучи, образующие стороны.

Рис. 22. Величина угла не зависит от изображения его сторон

Поэтому договорились разделить полный угол на 360 равных частей и взять одну из них в качестве эталона. Эталонный угол назвали 1 градус (обозначается ). Теперь измерение угла – это сравнение с эталоном: сколько раз в нем поместится угол в 1 градус (см. рис. 23).

Рис. 23. Измерение угла

Почему именно на 360? Так сложилось исторически, никакой принципиальности в этом нет. За 1 градус могли обозначить или часть полного угла. Главное, чтобы эту договоренность признали все и единица измерения была универсальной. С так и произошло.

Теперь мы можем сказать, что полный угол – это , развернутый – , прямой – , нулевой – .

Если угол равен , то говорят, что градусов – это его градусная мера. Чем больше градусная мера, тем больше угол (и наоборот). Градусные меры равных углов также равны.

Есть ли другие единицы измерения углов? Да, есть еще одна используемая единица – радиан.

Радиан

Если тело движется по окружности (например, спутник вокруг Земли), то его положение удобнее определять углом, который образуют радиусы окружности, проведенные в начальное и текущее положения (см. рис. 1).

Рис. 1. Определение положения тела, которое движется по окружности

Угол (см. рис. 2) называют центральным углом (о таких углах вы подробнее узнаете в старших классах).

Рис. 2. Центральный угол

Оказалось, что для решения задач, связанных, в частности, с таким движением тел, удобнее использовать другой эталонный угол (не градус).

А именно: эталонным углом считают угол, при котором точка передвинется по окружности на расстояние, равное радиусу (см. рис. 3). Такой единичный угол называют радиан.

Рис. 3. Радиан

Обозначают рад или просто . Т. е. договорились считать, что если размер угла указан без названия единицы измерения, то это именно радиан.

Как мы уже знаем, длина окружности – . Угол радиан, по определению, соответствует части окружности, равной по длине радиусу, т. е. . Значит, полный угол (он соответствует всей окружности), вместит в себя: углов по радиану.

Т. е. градусов – это около радиан. Несложно получить отсюда, что радиан будет приблизительно равен градусам.

Обратим внимание, что единиц измерения длины много (метры, футы, мили и т. д.), а использующихся единиц измерения углов всего две – градусы и радианы.

Можно предположить, что это связано с тем, что длина отрезка не имеет ограничений, поэтому в качестве эталонного отрезка можно взять отрезок практически любой длины (главное, чтобы им было удобно пользоваться на практике). Углы же ограничены полным углом, поэтому в качестве эталона можно было выбрать только какую-то его часть. Поэтому «стандартизация» появилась раньше, а значит, и единиц измерения успели придумать не так много.

Заключение

Итак, измерение – это сравнение с эталоном. Для измерения длины отрезка используется эталонный отрезок, который называется метр и длину которого мы принимаем равно 1 метр.

Для измерения углов используется другой эталон – полного угла (это связано с тем, что в отличие от длины, размеры углов ограничены полным углом).

Список литературы

Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. Геометрия. 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2014.
Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В. В. / Под ред. Садовничего В. А. Геометрия. 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2017.
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С., Геометрия. 8 класс. Учебник. М.: «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал «fxyz.ru» (Источник)
Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)
Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)

Домашнее задание

Точка – середина отрезка . Можно ли совместить наложением отрезки: 1. ; ?
Точка делит отрезок на два отрезка. Найти длину отрезка , если см, см.
Луч делит угол на два угла. Найти градусную меру угла , если угол равен , а угол на больше угла .