Классы
Предметы

Углы и отрезки. Измерения

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Углы и отрезки. Измерения

На этом уроке мы поговорим про измерения геометрических объектов – отрезков и углов; дадим определение равных фигур, а также научимся сравнивать фигуры по их характеристикам.

Любое измерение – это сравнение с эталоном. Для этого используются различные приборы: для длины отрезков – линейка, для градусной меры углов – транспортир. Мы поговорим о том, почему измерение не может быть абсолютно точным, а также о различных подходах к измерению геометрических объектов.

Сравнение характеристик объектов

Если есть два объекта рядом, то самое простое, что можно сделать, – это сравнить их друг с другом. Мы сразу отмечаем, что апельсин больше мандарина, а дорога через поле короче дороги в обход и т. д.

Но иногда сравнить объекты не так просто. Какой из домов больше (см. рис. 1)?

Рис. 1. Нет однозначного ответа, какой из домов больше

Один больше в ширину, другой в высоту. Вывод – мы сравниваем не сами объекты, а их конкретные характеристики. Например, высоту. У второго дома высота больше, чем у первого (см. рис. 2). А можно сравнить площади фасадов или объемы домов.

Рис. 2. Сравнение характеристик домов

Иногда нам достаточно простого сравнения: больше – меньше, длиннее – короче и т. д.

Но чаще нужна более точная оценка. В этом случае мы проводим измерения – сравнение с определенным стандартом (например, в двухлитровой бутылке находится вода, объем которой в  раза больше эталона (стандарта) –  литра).

Равные фигуры

На этом уроке мы поговорим об измерении отрезков и углов. В реальном мире не встретишь два абсолютно одинаковых объекта. Но в математике мы работаем с идеальными моделями (приближенными моделями реального мира). Поэтому можем пренебрегать несущественными отличиями и говорить о том, что в рамках решения данной задачи те или иные объекты можно считать одинаковыми.

Как мы уже говорили, геометрия – это инструмент описания формы объектов, поэтому начнем с определения равных геометрических фигур.

Понятно, что фигуры будут равными, если они совпадают по форме и по размерам.

Формальное определение звучит так: две фигуры называются равными, если одну можно наложить на другую так, что они при этом совпадут (см. рис. 3). Такое свойство называется конгруэнтностью.

Рис. 3. Равные фигуры

У нас пока есть три базовые фигуры, которым мы не давали определения: точка, прямая, плоскость.

Несложно убедиться, что при совмещении совпадут любые две точки, две прямые и две плоскости. Вывод: любые две точки (две прямые, две плоскости) являются равными фигурами.

Какие объекты можно сконструировать, используя три базовые фигуры? Самый простой способ: поставить на прямой точку, в результате мы получим две фигуры, которые называются лучами (см. рис. 4).

Рис. 4. Лучи

Луч – это часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих по одну сторону от нее. Данная точка называется началом луча.

Понятно, почему эта фигура называется именно так: луч Солнца, луч фонарика – начало есть, а конца не видно – аналогия близкая.

Любые два луча можно совместить при наложении, поэтому они тоже будут равны (см. рис. 5).

Рис. 5. Наложение лучей друг на друга

Отрезки и сравнение их длин

Если добавить на прямую еще одну точку, то они ограничат с двух сторон новую фигуру – отрезок.

Отрезок – часть прямой, состоящая из двух данных точек (концов отрезка) и точек, расположенных между ними (внутренние точки отрезка).

Рис. 6. Отрезок

До этого все фигуры одного вида оказывались равными между собой (из-за того, что их нельзя было измерить: прямая, плоскость, луч – бесконечно большие объекты, а точка – бесконечно малый объект). Отрезки принципиально отличаются, мы можем их сравнивать. Для этого ввели характеристику отрезка – длину.

Чтобы из двух человек выбрать более высокого, достаточно поставить их рядом (см. рис. 7).

Рис. 7. Сравнение роста людей

Так же мы сравниваем и длины отрезков: если при наложении отрезки совпадают – их длины равны, т. к. сами отрезки в этом случае, по определению, будут равными фигурами (см. рис. 8).

Рис. 8. Отрезки с одинаковыми длинами

Если при наложении один из отрезков полностью «умещается» внутри второго, то первый отрезок будет короче второго (его длина будет меньше).

Рис. 9. Отрезки с разными длинами

Можно переформулировать это следующим образом: отрезок  меньше (короче) отрезка , если он равен его части. В этом случае отрезок  будет больше (длиннее), чем отрезок .

Метрическая система

Заметьте, что для сравнения отрезков знать их длину необязательно – достаточно иметь возможность их совместить. Когда же возникает потребность в измерении длины?

Вернемся к примеру с ростом. Поставить людей рядом можно не всегда. Как быть, к примеру, если они находятся в разных городах? Или если эти люди жили с разницей в несколько веков? В этом случае нужно сравнить рост людей с каким-то объектом, который находится «вне времени и пространства» и будет универсальным эталоном. 

В этом случае говорят, что мы выполняем измерение – сравнение с эталоном (т. е. единицей измерения). Фраза «рост человека  сантиметров» означает, что рост человека в  раз больше, чем длина эталона – отрезка длиной  сантиметр. Но как выбрали именно такой эталон?

Самое важное в измерении - это всеобщая договоренность. Мы все должны согласиться, что определенный предмет или его часть будет эталоном.

К примеру, раньше длину измеряли в локтях. Длина куска ткани составляет  локтей – означает, что длина куска в  раз больше, чем длина эталона – одного локтя (см. рис. 10).

Рис. 10. Измерение длины в локтях

Но у людей локти разные, поэтому разброс при таких измерениях может быть слишком большим.

В XVIII веке французские ученые разделили (на бумаге, конечно) парижский меридиан на  миллионов равных частей. Полученную часть назвали метром. Даже сделали металлический эталон, длина которого равна этому самому метру.

Система, где в качестве единицы измерения длины используется метр, называется метрической.

Длиной отрезка (в метрах) называется число, равное количеству раз, которое отрезок длиной метр помещается внутри данного отрезка (см. рис. 11).

Рис. 11. Длина отрезка, равная  метров

Например, дом высотой  метров (см. рис. 12).

Рис. 11. Высота дома, равная  метров

Если метр помещается в отрезке не целое число раз, то используются части метра: сантиметры (сотая часть метра:  метр =  сантиметров), миллиметры (тысячная часть метра:  метр =  миллиметров,  сантиметр =  миллиметров).

Если длина объекта во много раз больше метра, то мы используем более крупную единицу измерения – километр ( километр =  метров).

Итак, для определения длины сначала нужно выбрать эталон – единичный отрезок (отрезок, длину которого мы будем считать равной ). Необязательно давать этому отрезку название (метр, фут, локоть). Можно просто считать его длину равной  (если это не так важно для решения конкретной задачи, главное – контролировать, чтобы все величины, которые фигурируют в задаче, измерялись по одной шкале).

Длина отрезка

Длиной отрезка  называется то количество раз, которое единичный отрезок помещается внутри отрезка . Длина отрезка  может быть целым, дробным или даже иррациональным. Таким образом, длина отрезка может оказаться любым действительным положительным числом.

 


Число ПИ

Возьмем велосипедное колесо. Будем считать спицу единичным отрезком. Снимем с колеса шину и разрежем его – получим отрезок, равный длине окружности колеса (см. рис. 1).

Рис. 1. Получение отрезка, равного длине окружности колеса

Попробуем посчитать длину шины, т. е. длину окружности. Спица помещается  целых раз (см. рис. 2). Длина примерно равна  целых.

Рис. 2. Вычисление длины окружности с точностью до целых

Чтобы посчитать более точно, берем  единичного отрезка. Помещается  раза. Длина примерно равна  (см. рис. 3).

Рис. 3. Вычисление длины окружности с точностью до десятых

Теперь сотую, помещается  раз: длина примерно равна  (см. рис. 4).

Рис. 4. Вычисление длины окружности с точностью до сотых

Так можно продолжать сколь угодно долго. Мы будем получать все более и более точное значение длины окружности.

Если же говорить о точном значении числа, то мы его уже обсуждали – это . Длина окружности выражается следующим образом: , где  – радиус окружности.

Число Пи приблизительно равно  и имеет бесконечную непериодическую десятичную запись.

 


 

Длина отрезка – это число. А сравнивать числа мы уже умеем.

Теперь, чтобы ответить на вопрос «какой из двух отрезков больше», нам достаточно ответить на вопрос: «У какого из двух отрезков больше длина?».

Так, если мы знаем, что рост одного человека  см, а другого –  см, то нам уже не нужно ставить их рядом, чтобы сказать, что первый человек выше второго. Более того, мы можем вычислить, на сколько именно первый выше второго:  см.

Верно и обратное утверждение: рост более высокого человека, измеренный в сантиметрах, будет больше, чем рост более низкого.

Почему мы так долго говорим о длине именно отрезка? Ведь нам нужно измерять длины более сложных объектов. Дело в том, что любую кривую можно с разной степенью точности приблизить отрезками (см. рис. 12). Значит, научившись измерять длину отрезка, мы сможем измерять длину любой кривой.

Рис. 12. Приближение кривой отрезками

Углы

Мы рассматривали точку и две точки на прямой (луч и отрезок). Следующий шаг для получения новой фигуры – рассмотреть две прямые.

Возможны два варианта: прямые могут пересекаться и не пересекаться. Во втором случае прямые называются параллельными (прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются), подробнее об их свойствах мы поговорим на следующем уроке.

Пока рассмотрим две пересекающиеся прямые (см. рис. 13).

Рис. 13. Пересекающиеся прямые

В результате образуется  угла (см. рис. 14). Что такое угол понятно каждому: он есть у стола, у комнаты, у дома.

Рис. 14. Пересекающиеся прямые образуют  угла

Сформулируем строгое определение: угол – это фигура, образованная двумя лучами, имеющими общую вершину (вершина угла) и частью плоскости между этим лучами.

Понятно, что есть и вторая часть плоскости. Она тоже ограничена этими лучами. Это тоже угол. Какой же угол имеется в виду, когда есть уже два луча? Обычно речь идет о том угле, который меньше. Но как сравнивать углы, как определить, какой из них меньше?

На пересечении двух прямых образуются  угла, но, на самом деле, можно говорить о двух парах углов (см. рис. 15). Почему это так, мы обсудим позже.

Рис. 15. Две пары углов, образованные пересекающимися прямыми

Важно отметить, что если мы наложим противоположные углы друг на друга (совместим вершины и один из лучей), то они совпадут (вторые лучи также совместятся) (см. рис. 16). Т. е., по определению равенства фигур, углы будут равны.

Рис. 16. Равные углы

Мы сказали про две пары углов, однако сразу можно выделить «особый» случай: когда образуется  равных угла (во всех остальных один угол будет меньше, другой – больше).

Такие прямые называются перпендикулярными (от лат. perpendicularis — «отвесный», по отвесу выравнивают стену дома, чтобы она не отклонялась ни вправо, ни влево, а была перпендикулярна земле), а образующиеся углы – прямыми (см. рис. 17).

Рис. 17. Равные углы, образованные перпендикулярными прямыми

Различные виды углов

Кроме прямых углов, выделяют еще несколько видов, которые удобно использовать для постановки различных геометрических задач.

  1. Если два луча совпадают, то между ними не остается плоскости, такой угол называют нулевым (см. рис. 18).
  2. При этом образуется и второй угол, который занимает всю плоскость. Такой угол называется полным (см. рис. 19).
  3. Если лучи дополняют друг друга до прямой, то оба угла, которые образуются, называются развернутыми (см. рис. 20). Получается, что развернутый – это половина полного угла. А прямой угол – половина развернутого.
  4. Любой угол меньше прямого будем называть острым. Острые углы могут быть от нулевого до прямого.
  5. Любой угол больше прямого, но меньше развернутого будем называть тупым. Тупой угол может быть любым от прямого до развернутого.

Рис. 18. Нулевой угол

Рис. 19. Полный угол

Рис. 20. Развернутые углы

Чтобы определить, какой угол больше, а какой – меньше, поступим так же, как и с отрезками. Вот есть два угла, при наложении один занимает часть другого (см. рис. 21).

Рис. 21. Сравнение углов

Определение. Если первый угол равен части второго, то первый угол меньше второго.

Это определение согласуется с нашим жизненным опытом и здравым смыслом: если какой-то объект является частью другого объекта, то первый объект меньше, чем второй.

Градусная мера угла

Как и в случае с отрезками, нам может быть недостаточно сравнения типа «больше – меньше». Поэтому углы тоже нужно измерять. Измерение – это сравнение с эталоном. Но измерение углов отличается от измерения отрезков (и большинства других величин в математике).

Обратите внимание, что длина отрезка может быть сколь угодно большой (у нее нет верхнего предела). Углы же, по сути, ограничены полным углом, т. е. для измерения углов есть верхний предел.

Есть и еще одно обстоятельство: величина угла не зависит от того, какую часть его сторон мы изобразим. Если рассмотреть угол, затем продлить его стороны и рассмотреть еще один угол (см. рис. 22), то они будут равными, т. к. у них совпадают вершины и лучи, образующие стороны.

Рис. 22. Величина угла не зависит от изображения его сторон

Поэтому договорились разделить полный угол на  равных частей и взять одну из них в качестве эталона. Эталонный угол назвали  градус (обозначается ). Теперь измерение угла – это сравнение с эталоном: сколько раз в нем поместится угол в  градус (см. рис. 23).

Рис. 23. Измерение угла

Почему именно на ? Так сложилось исторически, никакой принципиальности в этом нет. За  градус могли обозначить  или  часть полного угла. Главное, чтобы эту договоренность признали все и единица измерения была универсальной. С  так и произошло.

Теперь мы можем сказать, что полный угол – это , развернутый – , прямой – , нулевой – .

Если угол  равен , то говорят, что  градусов – это его градусная мера. Чем больше градусная мера, тем больше угол (и наоборот). Градусные меры равных углов также равны.

Есть ли другие единицы измерения углов? Да, есть еще одна используемая единица – радиан.

 


Радиан

Если тело движется по окружности (например, спутник вокруг Земли), то его положение удобнее определять углом, который образуют радиусы окружности, проведенные в начальное и текущее положения (см. рис. 1).

Рис. 1. Определение положения тела, которое движется по окружности

Угол  (см. рис. 2) называют центральным углом (о таких углах вы подробнее узнаете в старших классах).

Рис. 2. Центральный угол

Оказалось, что для решения задач, связанных, в частности, с таким движением тел, удобнее использовать другой эталонный угол (не  градус).

А именно: эталонным углом считают угол, при котором точка передвинется по окружности на расстояние, равное радиусу (см. рис. 3). Такой единичный угол называют  радиан.

Рис. 3. Радиан

Обозначают  рад или просто . Т. е. договорились считать, что если размер угла указан без названия единицы измерения, то это именно радиан.

Как мы уже знаем, длина окружности – . Угол  радиан, по определению, соответствует части окружности, равной по длине радиусу, т. е. . Значит, полный угол (он соответствует всей окружности), вместит в себя:  углов по  радиану.

Т. е.  градусов – это около  радиан. Несложно получить отсюда, что  радиан будет приблизительно равен  градусам.

Обратим внимание, что единиц измерения длины много (метры, футы, мили и т. д.), а использующихся единиц измерения углов всего две – градусы и радианы.

Можно предположить, что это связано с тем, что длина отрезка не имеет ограничений, поэтому в качестве эталонного отрезка можно взять отрезок практически любой длины (главное, чтобы им было удобно пользоваться на практике). Углы же ограничены полным углом, поэтому в качестве эталона можно было выбрать только какую-то его часть. Поэтому «стандартизация» появилась раньше, а значит, и единиц измерения успели придумать не так много.


 

Заключение

Итак, измерение – это сравнение с эталоном. Для измерения длины отрезка используется эталонный отрезок, который называется метр и длину которого мы принимаем равно  метр.

Для измерения углов используется другой эталон –  полного угла (это связано с тем, что в отличие от длины, размеры углов ограничены полным углом).

 

Список литературы

  1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия. 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2014.
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия. 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2017.
  3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия. 8 класс. Учебник. М.: «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал «fxyz.ru» (Источник)
  2. Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)
  3. Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

  1. Точка  – середина отрезка . Можно ли совместить наложением отрезки: 1. ; ?
  2. Точка  делит отрезок  на два отрезка. Найти длину отрезка , если  см,  см.
  3. Луч  делит угол  на два угла. Найти градусную меру угла , если угол  равен , а угол  на  больше угла .