Что можно сказать про три прямые, какие для них возможны варианты взаимного расположения?

Поскольку любые две прямые могут либо быть параллельными, либо пересекаться, то для трех прямых возможны различные комбинации этих случаев.

1. Все три прямые параллельны друг другу (см. рис. 27).

Рис. 27. Три параллельные прямые

2. Две прямые параллельны, третья прямая их пересекает (см. рис. 28).

Рис. 28. Прямая пересекает две другие параллельные прямые

3. Все три прямые пересекаются, причем в одной точке (см. рис. 29).

Рис. 29. Три прямые пересекаются в одной точке

4. Все три прямые пересекаются друг с другом попарно (см. рис. 30).

Рис. 30. Три прямые пересекаются друг с другом попарно

Поговорим о каждом из этих случаев подробнее.

1. Все три прямые параллельны друг другу.

Проведем прямую , затем – прямую параллельно и прямую параллельно . Мы догадываемся, что и параллельны друг другу (см. рис. 31). Такое свойство называется транзитивностью:

Рис. 31. Если провести прямые и , параллельные прямой , то они также будут параллельными

Вспомните другие известные нам примеры транзитивности:

;
;
яблоко весит больше груши, а груша – больше сливы, значит, яблоко весит больше сливы (см. рис. 32).

Рис. 32. Пример транзитивности

Рассмотрим доказательство признака параллельности. Оно основывается на пятом постулате Евклида: через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Доказательство.

Итак, . Докажем, что . Предположим, что это не так (используем метод от противного). Они непараллельны, значит, они пересекаются в некоторой точке (см. рис. 33).

Рис. 33. Прямые и пересекаются в точке

Эта точка не лежит на прямой , т. к. прямые не имеют общих точек с прямой в силу параллельности. Значит, через точку , не лежащую на прямой , проходят две прямые, параллельные . Это противоречит пятому постулату Евклида. Таким образом, .

Доказано.

Окончательная формулировка признака параллельности: если две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу.
Все три прямые могут пересекаться в одной точке, образовывать пучок. Это предельный случай, но пока он нам не очень интересен.
Две прямые параллельны, третья прямая их пересекает.

Рассмотрим острые углы и (см. рис. 34). Такие углы называются соответственными. Мы догадываемся, что они равны.

Рис. 34. Соответственные углы

В самом деле, если прямую сдвигать вниз параллельно самой себе, то, когда прямая совпадет с прямой , совпадет с (рис. 35).

Рис. 35. Когда при сдвиге прямой вниз параллельно самой себе, прямая совпадет с прямой , то совпадет с

Такое рассуждение не является строгим доказательством (докажем мы его позже), но оно дает нам понимание, что параллельные прямые – это по сути две одинаковые прямые.

Аналогично мы видим еще пары соответственных углов: и , и , и . Они тоже равны между собой.

Поскольку мы доказали, что вертикальные углы равны, то можем записать такие цепочки равенств:

Это совсем не удивительно. Две пересекающиеся прямые дают два разных угла (две пары углов). Причем эти углы являются смежными, т. е. вместе составляют развернутый угол и их сумма равна . Когда мы добавляем параллельную прямую, ничего не меняется, новые (по величине) углы не возникают (посмотрите наше предыдущее рассуждение о равенстве соответствующих углов).

Получаем четыре равных угла: и еще четыре равных угла: . Сумма двух любых разных углов из этих двух наборов равна .

Для удобства углам, которые получаются при пересечении двух прямых третьей прямой, дали отдельные названия.

Уже говорили и – это соответственные углы (есть еще три пары). Те углы, что лежат между прямыми и , называют внутренними, те, что вне их, – внешними.

Например, – внутренний угол, а – внешний (см. рис. 36).

Рис. 36. Угол называется внутренним, а угол – внешним

Если два угла лежат по одну сторону от прямой , то их называют односторонними, если по разную, то накрест лежащими.

Давайте потренируемся:

и – соответственные углы;

и – внутренние односторонние углы;

и – внутренние накрест лежащие углы;

и – внешние накрест лежащие углы.

И тут, в силу большого количества комбинаций, можно придумать много теорем.

Например: если и параллельны, а – секущая, то внутренние накрест лежащие углы равны. Или: если и параллельны, а – секущая, то внутренние односторонние углы равны в сумме . Самостоятельно потренируйтесь в формулировке подобного рода теорем. Некоторые мы докажем строго чуть позже.

Конечно, запоминать все эти теоремы не нужно. Достаточно помнить три важных факта:

вертикальные углы равны;
сумма смежных углов равна ;
соответственные углы равны.

Любое другое соотношение можно вывести, пользуясь этими тремя свойствами. Обратите внимание, что, если нам известен любой из восьми углов, все остальные мы тоже можем найти.

4. Все три прямые пересекаются друг с другом попарно

Если бросить три прямые на плоскость, то как они расположатся? Когда мы бросаем монету, мы не ждем, что она упадет на ребро. Точно так же мы не ожидаем от наших прямых, что какие-то две, а то и все три окажутся параллельными и пересекутся все в одной точке. Понятно, что они пересекутся попарно и образуют треугольник (см. рис. 37). Это важная фигура, о которой мы будем подробно говорить на следующих уроках.

Рис. 37. Если три прямые пересекаются друг с другом попарно, то они образуют треугольник

Заключение

Мы рассмотрели возможные варианты взаимного расположения двух и трех прямых на плоскости. И подробно остановились на некоторых предельных случаях такого расположения.
Для двух прямых мы рассмотрели случай параллельности (прямые не пересекаются) и случай пересечения. Для пересекающихся прямых доказали две теоремы: вертикальные углы равны и сумма смежных углов равна развернутому углу, т. е. .
Отдельно остановились на еще одном предельном случае пересечения прямых, когда образуются равные смежные углы, – перпендикулярных прямых. И поговорили о важном свойстве перпендикуляра – кратчайшем расстоянии от точки до прямой.
Для трех прямых мы сформулировали два признака параллельности прямых (параллельность третьей – его мы доказали и перпендикулярность третьей – пока строго не доказывали), рассмотрели один из предельных случаев – две прямые параллельны, а третья их пересекает. Для этого случая дали названия образующимся углам и сформулировали без доказательства важный факт: соответственные углы равны.

Не надо бояться, что некоторые утверждения мы пока принимаем на веру, не доказывая их строго. Так обычно и происходит: сначала идет гипотеза, догадка, потом идет поиск доказательства. Если не хватает инструментов, то их нужно разрабатывать. Главное – следить, чтобы инструменты не опирались на не доказанные, но уже сформулированные гипотезы, иначе может получиться замкнутый круг. На данный момент нам не хватает такого важного геометрического инструмента, как треугольник и его свойства. Его изучением мы и займемся на следующих уроках.

Список литературы

Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия. 7 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2017.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия. 7 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2017.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия. 7 класс. Учебник. – М.: «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)
Интернет-портал «bymath.net» (Источник)
Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)

Домашнее задание

1. Один из смежных углов – прямой. Каким является другой угол (нулевым, острым, прямым, тупым)?

2. Найти градусные меры углов , если .

3. Прямые и перпендикулярны и пересекаются в точке , а углы . Равны ли углы и ?