Свойства параллельных прямых

Аксиома

Определение:

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются (Рис. 1). Обозначается это так: .

Рис. 1

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной(Рис. 2).

Рис. 2

Cледствия из аксиомы

Следствие1:

Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Рис. 3

Дано:.

Доказать:.

Доказательство:

Будем доказывать от противного. Предположим, что с не пересекает прямую b(Рис. 4). 

Рис. 4

Тогда:(по условию), (по предположению). То есть через точку М проходят две прямые (а и c), параллельные прямой b. А это противоречит аксиоме. Значит, наше предположение неверное. Тогда прямая c пересечет прямую b.

Следствие 2:

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны(Рис. 5).

Рис. 5

Дано:.

Доказать:.

Доказательство:

Будем доказывать от противного. Предположим, что прямые a и bпересекаются в некоторой точке М (Рис. 6).

Рис. 6

Таким образом, получаем противоречие с аксиомой: через точку М проходят две прямые, одновременно параллельные третьей прямой.

Следовательно, наше предположение неверно. Тогда .

Теоремы о свойствах параллельных прямых

Теорема 1:

Если две прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны(Рис. 7).

Рис. 7

Дано:.

Доказать:.

Доказательство:

Будем доказывать от противного. Предположим, что: .

Тогда от луча MNможно отложить единственный угол ∠PMN, который будет равен ∠2 (Рис. 7). Но тогда ∠PMNи ∠2 – накрест лежащие и равны. Тогда прямые PMи b–  параллельны. Тогда через точку М проходят две прямые, параллельные третьей. А именно:

Получаем противоречие с аксиомой. Значит, наше предположение неверно. То есть: .

Следствие:

Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй.

Рис. 8

Дано:

Доказать:

Доказательство:

1.      с пересекает а, а значит, и пересекает параллельную ей прямую, то есть b. Тогда с – секущая по отношению к а и b.

2.      поскольку они являются накрест лежащими. Тогда . То есть.

Теорема 2:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Рис. 9

Дано: – секущая.

Доказать: (Рис. 9).

Доказательство:

Если , то из предыдущей теоремы следует, что накрест лежащие углы равны. То есть .

Тогда, по свойству вертикальных углов, .

Значит, , что и требовалось доказать.

Теорема 3:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.

Рис. 10

Дано: – секущая.

Доказать:.

Доказательство:

Из того, что , вытекает, что ∠1 = ∠3, в силу предыдущей теоремы. Но по свойству смежных углов. Тогда , что и требовалось доказать.

 

Список рекомендованной литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Свойства углов. Свойства параллельных прямых (Источник).
2. Свойства параллельных прямых (Источник).
3. Признаки параллельности двух прямых (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. На стороне угла АВС взята точка А. Через нее проведена прямая, параллельная ВС. Найдите меры углов при вершине А, если .
2. Докажите, что если одна секущая с двумя прямыми образует равные соответственные углы, то и любая другая секущая будет образовывать с ними равные соответственные углы.
3. Если прямые образуют с секущей неравные соответственные углы, то они пересекаются. Докажите это.