Задачи на признаки параллельности двух прямых

Повторение

Признаки параллельности прямых.

 – прямые, с – секущая.

Рис. 1

Возникает много углов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8).

Эти углы важны для нас, и поэтому они имеют названия:

- смежные углы: , , ,  и т.д. (сумма смежных углов равна );

- вертикальные углы: , , ,  (вертикальные углы равны);

- накрест лежащие углы: , ;

- односторонние углы: ,

- соответственные углы: , , , .

Основные теоремы о параллельности прямых:

Рис. 2

Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. И наоборот, если прямые параллельны, то накрест лежащие углы равны.

Рис. 3

Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. И наоборот, если прямые параллельны, то соответственные углы равны.

Рис. 4

Если сумма внутренних углов равна , то прямые параллельны. И наоборот, если прямые параллельны, то сумма внутренних углов равна .

Рассмотрим некоторые типовые задачи на признаки параллельности прямых.

Задача 1

Задача 1:

Отрезки  пересекаются в их общей середине. Докажите, что .

Дано:.

Доказать: .

Рис. 5

Доказательство:

Тогда, по первому признаку равенства треугольников, .

Тогда .

Поскольку эти углы являются накрест лежащими при прямых и секущей , то по первому признаку параллельности прямых , что и требовалось доказать.

Задача 2

Задача 2:

На рисунке , угол 7 в 3 раза больше угла 2. Докажите, что .

Дано:.

Доказать:.

Рис. 6

Доказательство:

1.;

2. (как вертикальные);

 (как вертикальные);

3. .

Тогда, поскольку сумма внутренних углов равна , то по третьему признаку параллельности прямых, , что и требовалось доказать.

Задача 3

Задача 3:

Рис. 7

Дано:.

Доказать:.

Доказательство:

На рисунке видно, что АВ – общая сторона.

Из равенства треугольников следует, что .

Тогда .

 – являются накрест лежащими углами прямых АС и BD и секущей АВ.

Тогда по первому признаку параллельности прямых.

 – являются накрест лежащими углами прямых AD и BC и секущей АВ.

Тогда по первому признаку параллельности прямых.

 

Список рекомендованной литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Признаки параллельности прямых (Источник).
2. Признаки параллельности двух прямых (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Прямая KP пересекает прямую АВ в точке К, а прямую CD в точке P. Параллельны ли прямые АВ и CD, если ?
2. Прямая KP пересекает прямую АВ в точке К, а прямую CD в точке P так, что точки B и D лежат по одну сторону от прямой KP. Параллельны ли прямые АВ и CD, если?
3. Через концы отрезка АВ с одной стороны от него проведены лучи АР и ВС. Параллельны ли эти лучи, если:

;

?