Повторение теоремы о соотношении сторон и углов треугольника
Неравенство треугольника вытекает из важной теоремы, о сторонах и углах треугольника. Вспомним эту теорему.
Теорема 1: Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона.
Рис. 1. Рисунок к теореме 1
АВ>АС>ВС, ∠С>∠В>∠А.
Теорема о неравенстве треугольника
Теорема 2: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Дано: ΔАВС.
Доказать: АВ<АС+СВ.
Рис. 2. Рисунок к теореме 2
Доказательство: Проведём CD=CB, AC+CD=AD. ∠1=∠2. В треугольнике АВD требуется доказать, что АВ<AD. ∠2=∠1<∠ABD. Пользуясь теоремой о соотношении углов и сторон, АВ <AD=AC+CB, что и требовалось доказать.
Запишем эту теорему для всех сторон треугольника.
Из теоремы о сумме углов треугольника следует теорема о разности сторон треугольника.
Теорема о неравенстве треугольника для разности сторон
Теорема 3: Каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.
Доказательство:
Рис. 3
По предыдущей теореме:
либо
.
Теорема доказана.
Из доказанных теорем вытекает важное следствие:
Следствие из теорем
Следствие: Для любых трёх точек А, В, С, не лежащих на одной прямой справедливы неравенства:
Решение задач
Задача 1: Существует ли треугольник со сторонами
1. 1 м, 2 м, 3 м.
2. 3 м, 4 м, 5 м.
Решение: Используем неравенство треугольников.
1. 3=2+1, 3=3.
Ответ: Такого треугольника не существует.
2.
Ответ: Такой треугольник существует.
На сегодняшнем уроке мы познакомились с неравенством треугольника. Далее перейдём к задачам и прямоугольному треугольнику.
Список рекомендованной литературы
- Александров А.Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. и др. Геометрия 7. Издание М.: Просвещение.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5 издание. М.: Просвещение.
- Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет
- Словари и энциклопедии на Академике (Источник).
- Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
- Кaknauchit.ru (Источник).
Рекомендованное домашнее задание.
- №54. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.
- Точки М и Р лежат по разные стороны от прямой КТ, а точки К и Т – по разные стороны от прямой МР. Докажите, что 2(МР+КТ)>МК+КР+РТ+ТМ.
- Может ли существовать треугольник со сторонами 2 см, 3 см, 5 см? 3 см, 5 см, 7 см?
- Докажите, что сумма медиан треугольника меньше его периметра.
