Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол напротив этого катета равен .

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный . Пусть и . Нужно доказать, что (см. Рис. 13).

Рис. 13. Прямоугольный

Отразим зеркально относительно катета , полученную вершину назовем . Образовался (см. Рис. 14).

Рис. 14. Полученный

В известно, что , , значит, – равнобедренный. Кроме того, из третьего свойства известно, что . Значит, , а , отсюда . Тогда – равносторонний (см. Рис. 15).

Рис. 15. – равносторонний

Из этого следует, что , а тогда , т. к. – высота, медиана и биссектриса . Что и требовалось доказать.

Доказательство (медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине).

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине (см. Рис. 16).

Рис. 16. Иллюстрация к свойству прямоугольного треугольника

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный , – медиана. Нужно доказать, что . Удвоим отрезок – получим точку () (см. Рис. 17).

Рис. 17.

Соединим точку с точками и . Тогда несложно доказать, что равны по 1 признаку (соответствующие стороны попарно равны, а углы между сторонами равны как вертикальные) (см. Рис. 18).

Рис. 18. Равенство и, и равенство соответствующих элементов

Рассмотрим . .

Теперь рассмотрим и . (т. к. , – общая, – треугольники равны по первому признаку). Отсюда следует, что , тогда . Что и требовалось доказать.
Обратное тоже верно: если медиана в треугольнике равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник – прямоугольный.