С помощью подобия и теоремы Фалеса можно получить не только свойство биссектрисы, но и свойство медианы треугольника.

Задача 6. Доказать, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении , считая от вершины.

Доказательство

Рассмотрим треугольник , в котором проведем две медианы и , пересекающиеся в точке (см. рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к задаче 6

Отрезок (соединяющий середины двух сторон треугольника) называется средней линией треугольника. Очевидно, что у треугольника три средних линии (см. рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к задаче 6

Рассмотрим :

Значит, по теореме, обратной теореме Фалеса, и параллельны (т. к. отсекают на обеих сторонах угла равные отрезки). Получили важный промежуточный факт: средняя линия треугольника параллельна его стороне.

Кроме того, треугольники и подобны, причем : общий; (т. к. и – середины сторон и соответственно). Значит, треугольники подобны по второму признаку (равный угол между пропорциональными сторонами).

Из этого следует, в частности, что , т. е.:

Мы получили еще один важный промежуточный факт о средней линии треугольника: она равна половине стороны, которой параллельна.

Эти два факта объединяют в одну теорему о средней линии треугольника: средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Только что мы доказали эту теорему, которая окажется еще одним полезным инструментом. Но сейчас вернемся к нашей задаче о делении медиан.

Нам осталось сделать один шаг. Рассмотрим треугольники и . У них: (как вертикальные); (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и и секущей ). Значит, треугольники и подобны (по первому признаку подобия – два равных угла). Из этого следует (см. рис. 15):

Рис. 15. Иллюстрация к задаче 6

Но последнее отношение равно , поэтому:

Такое же рассуждение можно провести для двух других пар медиан и ; и :

Получится, что любая пара медиан пересекается в точке, которая делит их в отношении . Очевидно, что такая точка для данной медианы может быть только одна:

Значит, мы доказали сразу два важных утверждения: медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении , считая от вершины. Этот факт носит название теоремы Архимеда.

Доказано.

Более подробно о средней линии треугольника, ее свойствах, а также о свойствах биссектрис и медиан треугольника мы еще будем говорить на следующих уроках.

Заключение

На этом уроке мы потренировались решать различные задачи с использованием теоремы Фалеса, а также подобия треугольников. Обязательно решите тесты и тренажеры к данному уроку, чтобы закрепить отработанные навыки.

Список литературы

Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2017.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2017.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал «ru.solverbook.com»‎ (Источник).
Интернет-портал «yaklass.ru»‎ (Источник).

Домашнее задание

В прямоугольном треугольнике стороны равны . Найти длины отрезков, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу.
Отрезок – биссектриса треугольника . Найти длину стороны , если , , .
Найти расстояние от точки пересечения медиан равнобедренного треугольника до основания , если известно, что , , периметр треугольника равен .