Мы доказали три признака подобия треугольников. На самом деле, каждый из них можно было взять за определение подобных треугольников (например, треугольники называются подобными, если у них равны 2 угла) и вывести из него оставшиеся признаки и наше нынешнее определение подобных треугольников.

Вернемся к выводу, который мы сделали о подобных треугольниках в начале урока, но строго его не доказали: сходственные элементы подобных треугольников (высоты, медианы, биссектрисы и т. д.) также пропорциональны с тем же коэффициентом , что и стороны этих треугольников. Докажем это на примере высот. Для остальных элементов попробуйте провести аналогичные рассуждения самостоятельно.

Проведем в подобных треугольниках и высоты и (см. рис. 18).

Рис. 18. В подобных треугольниках и проведены высоты и

Рассмотрим треугольники и . В них , а также (т. к. подобны треугольники и , а значит, их углы равны). Тогда, по двум углам, подобны треугольники и . Значит, их стороны пропорциональны.

Как определить, какая из сторон первого треугольника пропорциональна данной стороне второго? По равным углам: пропорциональные стороны противолежат равным углам треугольников.

Получаем:

Но из подобия треугольников и :

Значит:

Доказано.

Заключение

Итак, мы ввели понятие подобных треугольников, рассмотрели, как определить, что треугольники подобны (признаки подобия), а также сформулировали полезный вспомогательный факт – теорему Фалеса. На следующем уроке мы потренируемся решать задачи на эту тему.

Список литературы

Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2017.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2017.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 7 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник).
Интернет-портал «ru.solverbook.com» (Источник).

Домашнее задание

Периметры подобных треугольников и соответственно равны и см. Найти длины сторон треугольника , если см, см.
Известно отношение площадей подобных треугольников: . Найти длину основания , если высота см, а .
Прямая пересекает стороны и треугольника в точках и соответсвенно. Доказать, что , если , .