Теорема: В треугольнике

1. Против большей стороны лежит больший угол

2. Обратно, против большего угла лежит большая сторона.

1. Дано: АВ>АС

Доказать: ∠С>∠В.

Доказательство: Отложим отрезок AD равный отрезку АС и тогда точка D будет лежать между точек А и В. Луч CD рассечёт угол АСВ на два угла, при этом ∠1=∠2. ΔАСВ состоит из углов ∠1 и ∠3. ∠2 – внешний для треугольника CDB, значит он больше угла В.

Рис. 1. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

AD=AC<AB

∠1=∠2<∠ACB

∠2=∠B+∠3>∠B

∠1>∠B

∠ACB>∠B, что и требовалось доказать.

2. Дано: ∠С>∠В

Доказать: ∠АВ>∠AC

Доказательство: Докажем методом от противного.

Рис. 2. Обратная теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника , но ∠С>∠В по условию, следовательно, остается только случай, если АВ>АС, что и требовалось доказать.

Ещё раз сформулируем теорему и распространим её на все углы треугольника.

Теорема: В треугольнике

1. Против большей стороны лежит больший угол

2. Обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Рис. 3. Чертёж к теореме

Если АВ>AC>BC, то ∠C>∠B>∠A.

Если ∠C>∠B>∠A, то АВ>AC>BC.