Задача 4: В прямоугольных треугольниках АВС и А₁В₁С₁ углы А и А₁ равны 90^о. Известно, что ∠В = ∠В₁. Отрезки ВD и B₁D₁являются биссектрисами углов В и В₁ и равны между собой. Докажите, что треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок к данной задаче.

Рис. 4. Рисунок к задаче 4

Докажем равенство треугольников АВD и A₁B₁D₁. В данных треугольниках известно, что ВD = B₁D₁, а из равенства углов В и В₁ следует равенство углов АВD и A₁B₁D₁. Следовательно, прямоугольные треугольники АВD и A₁B₁D₁ равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства указанных треугольников следует, что АВ = А₁В₁.

Докажем равенство треугольников АВС и А₁В₁С₁. В данных треугольниках АВ = А₁В₁, а также углы В и В₁равны. Следовательно, треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по катету и прилежащему к нему острому углу.

Что и требовалось доказать.

Таким образом, мы рассмотрели основные теоретические сведения по теме «прямоугольный треугольник», ввели и доказали признаки равенства прямоугольных треугольников. Также мы решили несколько задач для закрепления теоретического материала.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

YouTube (Источник).
Математические этюды (Источник).
Подготовка к ГИА и ЕГЭ по математике (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

№ 44 (в, г), 45(в). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.
В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла В проведена высота ВН. Определите длину отрезка АВ, если известно, что АН = 5 см, а угол А равен 60^о.
Докажите, что если две высоты треугольника равны, то этот треугольник – равнобедренный.
Докажите, что сумма длин перпендикуляров, проведённых из точки внутренней области равностороннего треугольника к его сторонам равна высоте этого треугольника.