Уголковый отражатель. Типовые задачи

Решение первой задачи по данной теме

Начнём урок с определённой задачи:

Задача 1:

На поверхность, состоящую из двух перпендикулярно расположенных зеркал, падает луч света. Докажите, что траектория луча падения будет параллельна траектории угла отражения.

Решение:

Выполним разъяснительный рисунок к этой задаче.

Рис. 1. Уголковый отражатель к задаче 1

Рассмотрим луч SM. По законам физики луч падения на поверхность равен лучу отражения от поверхности. Таким образом, ∠AMS = ∠OMN = α. Луч MN падает на поверхность NB и отражается, переходя в луч NT. Следовательно, ∠MNO = ∠TNB. Выразим данные углы через α. Из прямоугольного треугольника MON исходя из суммы острых его углов имеем, что ∠OMN + ∠TNB = 90⁰. Отсюда ∠MNO = ∠TNB = 90^о – α. Зная то, что углы ∠MNT, ∠TNB образуют развёрнутый угол, то

 .

Аналогично выразим угол SMN = 180^о – 2α. Рассмотрим прямые SM и NT, а также секущую MN. Сумма внутренних односторонних углов SMN и MNT равна . Поскольку сумма внутренних односторонних углов при прямых SM и NT, а также секущей MN равна 180^о, то прямые SM и NT параллельные.

Что и требовалось доказать.

Решение второй задачи по данной теме

Задача 2:

В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 54^о.Найдите угол между высотой, проведённой к боковой стороне, и основанием треугольника.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 2. Чертёж к задаче 1

Дано, что CD = DE (по определению, так как треугольник CDE – равнобедренный). Угол при вершине ∠D = 54^o. CF  DE.

Известно, что сумма углов треугольника равна 180^о, а также по свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Следовательно, ∠DEC = .

Рассмотрим прямоугольный треугольник СЕF. В нём сумма острых углов равна 90^о. Следовательно, ∠FCE + ∠FEC = 90⁰. Отсюда, ∠FCE = 90⁰ - ∠FEC = 90 - 63 = 27^о.

Ответ: 27^о.

Решение третьей задачи по данной теме

Задача 3:

В равнобедренном треугольнике с углом при вершине равным 120^о проведена высота к боковой стороне. Найдите длину основания, если длина высоты равна 9 см.

Решение:      

Выполним рисунок к задаче.

Рис. 3. Рисунок к задаче 3

Поскольку треугольник АСВ – равнобедренный, то, по его свойству, углы при основании равны, то есть ∠В = ∠С. Поскольку сумма углов треугольника равна 180⁰, найдём угол С при основании ВС. ∠С = .

Рассмотрим треугольник ВНС (∠Н = 90^о, так как ВН – высота треугольника АВС). В данном треугольнике имеем катет ВН = 9 см, который лежит против угла 30^о. Значит, по свойству, длина ВС равна удвоенной длине ВН. ВС = 2ВН = 2*9 = 18 (см).

Ответ: 18 см.

Решение четвёртой задачи по этой теме

Задача 4: В прямоугольных треугольниках АВС и А₁В₁С₁ углы А и А₁ равны 90^о. Известно, что ∠В = ∠В₁. Отрезки ВD и B₁D₁ являются биссектрисами углов В и В₁ и равны между собой. Докажите, что треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок к данной задаче.

Рис. 4. Рисунок к задаче 4

Докажем равенство треугольников АВD и A₁B₁D₁. В данных треугольниках известно, что ВD = B₁D₁, а из равенства углов В и В₁ следует равенство углов АВD и A₁B₁D₁. Следовательно, прямоугольные треугольники АВD и A₁B₁D₁ равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства указанных треугольников следует, что АВ = А₁В₁.

Докажем равенство треугольников АВС и А₁В₁С₁. В данных треугольниках АВ = А₁В₁, а также углы В и В₁ равны. Следовательно, треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по катету и прилежащему к нему острому углу.

Что и требовалось доказать.

Таким образом, мы рассмотрели основные теоретические сведения по теме «прямоугольный треугольник», ввели и доказали признаки равенства прямоугольных треугольников. Также мы решили несколько задач для закрепления теоретического материала.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Youtube (Источник).
2. Математические этюды (Источник).
3. Подготовка к ГИА и ЕГЭ по математике (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 44 (в, г), 45(в). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В., под редакцией Садовничего В. А. Геометрия 7. М.: Просвещение. 2010 г.
2. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла В проведена высота ВН. Определите длину отрезка АВ, если известно, что АН = 5 см, а угол А равен 60^о.
3. Докажите, что если две высоты треугольника равны, то этот треугольник – равнобедренный.
4. Докажите, что сумма длин перпендикуляров, проведённых из точки внутренней области равностороннего треугольника к его сторонам равна высоте этого треугольника.