Свойство серединного перпендикуляра к отрезку

Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка (рис. 5). Если .

Рис. 5. Свойство серединного перпендикуляра

И наоборот: если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре, проведенном к этому отрезку: .

Доказать это утверждение несложно: достаточно рассмотреть прямоугольные треугольники и и доказать их равенство.

Как можно использовать этот факт? Из него следует, что центр любой окружности, проходящей через точки и , будет лежать на серединном перпендикуляре к отрезку .

Свойство биссектрисы угла

Любая точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от сторон угла (рис. 6).

Рис. 6. Свойство биссектрисы угла

И наоборот, точка, равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Вспомним, что (длина перпендикуляра), аналогично: .

Доказать этот факт несложно: достаточно рассмотреть прямоугольные треугольники и , и доказать, что они равны.

Как можно использовать этот факт? Из него следует, что центр любой окружности, вписанной в угол, будет лежать на биссектрисе этого угла (рис. 7).

Рис. 7. Окружность, вписанная в угол