Даны три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие через одну точку. Постройте точку, равноудаленную от этих прямых. Сколько решений имеет система?

Решение

Анализ

Три прямые, не проходящие через одну точку, при пересечении образуют треугольник. Воспользуемся вторым опорным фактом (Рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация ко второму опорному факту

Обозначим точки пересечения прямых и предположим, что равноудаленная точка уже существует. Назовем эту точку (Рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к анализу задачи

Проанализируем, где должна находиться эта точка. Она должна быть равноудалена от сторон угла . Это значит, что она будет находиться на биссектрисе данного угла (Рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к анализу задачи

Но точка должна быть равноудалена также и от сторон угла (Рис. 4). Проведем еще одну биссектрису. Тогда возникает вопрос, сколько еще нужно построить биссектрис.

Рис. 4. Иллюстрация к анализу задачи

Поскольку наша точка находится внутри треугольника и лежит на пересечении двух биссектрис, то выходит, что она равноудалена и от сторон угла (если точка равноудалена от прямых и , а также от прямых и , то она также равноудалена от прямых и ). Одну точку мы нашли, а есть ли еще решения этой системы? Давайте построим биссектрисы двух внешних углов (Рис. 5).

Рис. 5. Поиск второго решения задачи

Разберемся со свойствами точки . Из второго опорного свойства: если точка лежит на биссектрисе внешнего угла, то она равноудалена от сторон этого угла.

Опустим на первые две стороны перпендикуляры, исходя из опорных свойств, можно утверждать, что они равны. Аналогичная ситуация происходит и в случае с внешним углом (Рис. 6).

Рис. 6. Второе решение задачи

Таким образом, мы нашли еще одну точку, лежащую против его вершины . Эта точка равноудалена от трех прямых и лежит вне треугольника. Но мы ведь можем построить еще одну точку, которая будет лежать против вершины (Рис. 7).

Рис. 7. Третье решение задачи

Полученная точка вновь удовлетворяет условиям задачи. Она равноудалена от трех попарно пересекающихся прямых, которые не проходят через одну точку.

Последовательно применяя первое свойство биссектрисы любого угла, мы можем построить точку, равноудаленную от трех прямых, которая лежит внутри треугольника, а также три точки, которые равноудалены от прямых и лежат вне треугольника. Мы получаем четыре точки, которые являются решением заданной системы. Анализ закончен.

Построение

1. Проводим биссектрисы двух внутренних углов и находим на их пересечении точку (Рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация к построению

2. Проведем биссектрисы внешних углов. И найдем сразу три оставшиеся точки, лежащие против углов треугольника (Рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к построению

Вспоминая этапы решения задачи, можно отметить, что нам осталось лишь доказать, что построения были выполнены правильно и все условия соблюдены. Так как три наших прямых не проходят через одну точку и попарно пересекаются, а найденные точки равноудалены от них, можно утверждать, что решение найдено правильно.

Перейдем к следующему этапу решения задачи – исследованию.

Можем с уверенностью сказать, что условия задачи выполнимы при любых условиях. И решений у данной системы четыре.

Ответ: точки.

Стоит еще раз подчеркнуть важность умения пользоваться опорными свойствами. При решении данной задачи мы использовали второе опорное свойство.