Предположим, что нам надо найти точку, равноудаленную от двух дорог (например, чтобы разместить там станцию отдыха или техобслуживания). Если эти две дороги параллельны, то задача решается легко. Все такие точки будут лежать на параллельной прямой, равноудаленной от двух данных (см. рис. 22).

Рис. 22. Точки, равноудаленные от двух параллельных дорог, лежат на параллельной прямой, равноудаленной от двух данных

Но что делать, если прямые пересекаются? Рассмотрим один из углов, образованный двумя пересекающимися прямыми. Как мы только что доказали, все интересующие нас точки лежат на биссектрисе этого угла (см. рис. 23).

Рис. 23. Точки, равноудаленные от двух пересекающихся дорог, лежат на биссектрисе угла, образованного этими прямыми

Вернемся к треугольнику: биссектрисы всех трех его углов пересекаются в одной точке (см. рис. 24).

Рис. 24. – биссектрисы , – инцентр треугольника

Поскольку точка лежит на биссектрисе , то она равноудалена от сторон и . Но она также лежит на биссектрисе угла – равноудалена от и , и на биссектрисе – равноудалена от и . Т. e. точка равноудалена ото всех трех сторон треугольника (см. рис. 25):

Рис. 25. Точка равноудалена от всех трех сторон треугольника

Если провести окружность с центром в точке и радиусом, который равен расстоянию от точки до сторон треугольника, то получится вписанная окружность (см. рис. 26):

Рис. 26. Вписанная окружность с центром в точке и радиусом

Окружность вписана в треугольник, все три его стороны не пересекают окружность, а как бы касаются ее в одной точке (они так и называются – касательными к окружности, но о них и об их свойствах подробнее мы поговорим позже).

Для нас важно запомнить, что окружность, обладающая таким свойством, у любого треугольника ровно одна и ее центр всегда лежит в точке пересечения биссектрис – инцентре.

Почему вписанная окружность касается сторон треугольника

Прямая и окружность на плоскости могут располагаться тремя способами: не иметь общих точек, иметь одну общую точку (касаться) и иметь две общие точки (пересекаться) (см. рис. 27).

Рис. 27. Взаимные расположения прямой и окружности

Стороны треугольники будут касаться вписанной окружности (см. рис. 28). Почему именно так?

Рис. 28. Стороны треугольники касаются вписанной окружности

Вспомним определение окружности: множество точек плоскости, расстояние от которых до данной точки одинаково. Пусть это расстояние (радиус окружности) равно (см. рис. 29).

Рис. 29. Окружность с радиусом

Тогда любая точка, которая лежит внутри окружности, удалена от центра на расстояние, меньшее , а любая точка вне окружности – на расстояние, большее (см. рис. 30). Верно и обратное утверждение: если расстояние от точки до центра окружности больше , она лежит вне окружности; меньше – внутри нее.

Рис. 30. Любая точка, которая лежит внутри окружности, удалена от центра на расстояние, меньшее , а любая точка вне окружности – на расстояние, большее .

Рассмотрим треугольник и вписанную окружность с центром в точке . Пусть – расстояние от точки до стороны , т. е. радиус вписанной окружности (см. рис. 31).

Рис. 31. Вписанная в треугольник окружность; – расстояние от точки до стороны :

Мы знаем, что длина перпендикуляра – кратчайшее расстояние от точки до прямой и что длина любой наклонной больше длины перпендикуляра. Тогда для любой точки стороны : , и (по свойству окружности, которое мы обсуждали выше) она будет лежать вне окружности (см. рис. 32).

Рис. 32. Для любой точки : точка лежит вне окружности радиуса

Таким образом, все точки стороны , кроме точки , будут лежать вне вписанной окружности. Т. е. у окружности и прямой ровно одна общая точка – точка . Поэтому сторона касается вписанной окружности. Аналогичное рассуждение можно провести для оставшихся двух сторон треугольника.