Определение медианы треугольника
Определение: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
Рис. 1. Медианы треугольника
А, В, С – вершины треугольника.
– середины сторон треугольника.
– медианы треугольника.
У каждого треугольника есть три медианы. В дальнейшем мы докажем, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке. И эта точка обладает замечательными свойствами и называется «центром тяжести» треугольника.
Определение биссектрисы треугольника
Определение: Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. Стоит заметить, что биссектриса угла – это луч, делящий угол на два равных, а биссектриса треугольника – это отрезок, часть луча, ограниченная стороной треугольника.
Рис. 2. Биссектрисы треугольника
C, D, E – вершины треугольника.
– биссектрисы треугольника.
Три биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке, которая также имеет важное свойство.
Определение высоты треугольника
Определение: Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.
Рис. 3. Высоты остроугольного треугольника
А, В, С – вершины треугольника.
– высоты треугольника.
Поскольку у треугольника три вершины, а значит, и три высоты. Далее мы выясним, что все три высоты пересекаются в одной точке. Но в тупоугольном треугольнике высоты расположены следующим образом:
Рис. 4. Высоты тупоугольного треугольника
Перпендикуляр, опущенный с вершины С на прямую ВА, это перпендикуляр 
, который является высотой треугольника. 
– это перпендикуляр, опущенный с вершины В на прямую СА, которая содержит сторону АС. – это вторая высота треугольника.
– третья высота треугольника. Высоты или их продолжения пересекаются в одной точке. Это будет доказано далее.
Решение задач
Пример 1: Медиана AD треугольника АВС продолжена за сторону ВС на отрезок DE, равный AD, и точка Е соединена с точкой С.
1. Докажите, что ∆АВD = ∆ECD.
2. Найдите ∠АСЕ, если ∠ACD = 
, ∠ABD = 
.
Дано: BD = CD, AD = ED.
Доказать: ∆ABD = ∆ECD.
Доказательство: Выполним пояснительный рисунок:
Рис. 5. Чертеж к примеру 1
треугольник ABD = треугольнику ECD по первому признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.
Дано: BD = CD, AD = ED, ∠ACD = , ∠ABD = .
Найти: ∠АСЕ.
Решение: Выполним пояснительный рисунок:
Рис. 6. Чертеж к примеру 1
Воспользуемся результатами предыдущей задачи, что треугольник ABD = треугольнику ECD. Треугольники равны, значит, и равны их соответствующие элементы. ∠ECD =∠ABD = 
.∠ACE = ∠ECD + ∠ACD = +
=
.
Ответ: ∠ACE = 
.
Пример 2: треугольник АВС = треугольнику 
.
Доказать: медианы ВМ и 
равны.
Доказательство: Выполним пояснительный рисунок:
Рис.7. Чертеж к примеру 2
1 способ:
.
Отсюда следует, что треугольник АВМ = треугольнику 
. А из равенства треугольников следует, что ВМ = , что и требовалось доказать.
2 способ: совмещение треугольников АВС и 
. При этом точка В перейдет в точку 
, а точка М в точку 
. Значит, отрезки ВМ и 
совместятся. ВМ = .
Ответ: Доказано.
На сегодняшнем уроке мы познакомились с медианами, биссектрисами и высотами треугольника. С этими важными элементами мы будем встречаться неоднократно. На следующем уроке мы рассмотрим равнобедренный треугольник и его свойства.
Список рекомендованной литературы
1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.
3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.
Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы
1. Обобщающий урок по геометрии в 7-м классе (Источник).
2. Прямая линия, отрезок (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
1. №28(а). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.
2. На стороне АС треугольника АВС отмечена такая точка К, что периметры треугольников АВК и ВСК отличаются на 5 см. Найдите периметр треугольника АВС, если АВ + АК = 30 см.
3. Какие элементы (части) треугольника совпадут при перегибании его по биссектрисе?
4. *Докажите, что если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то угол, из вершины которого проведена медиана, равен сумме двух других углов.
