Абонемент оплачен

Классы
Предметы
Мой профиль

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

На этом уроке мы продолжим рассмотрение элементов треугольника – медиан, биссектрис и высот треугольника.
Вначале дадим определение медианы треугольника и рассмотрим три медианы треугольника. Дадим определение биссектрисы треугольника и рассмотрим три биссектрисы треугольника. Дадим определение высоты треугольника и рассмотрим высоты в произвольном треугольнике и в тупом треугольнике. Далее решим ряд задач с использованием этих элементов.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Определение медианы треугольника

Определение: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

         

Рис. 1. Медианы треугольника

А, В, С – вершины треугольника.

 – середины сторон треугольника. 

  – медианы треугольника.

У каждого треугольника есть три медианы. В дальнейшем мы докажем, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке. И эта точка обладает замечательными свойствами и называется «центром тяжести» треугольника.

Определение биссектрисы треугольника

Определение: Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. Стоит заметить, что биссектриса угла – это луч, делящий угол на два равных, а биссектриса треугольника – это отрезок, часть луча, ограниченная стороной треугольника.

Рис. 2. Биссектрисы треугольника

C, D, E – вершины треугольника.

   – биссектрисы треугольника.

Три биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке, которая также имеет важное свойство.

Определение высоты треугольника

Определение: Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

 

Рис. 3. Высоты остроугольного треугольника

А, В, С – вершины треугольника. 

  – высоты треугольника.

Поскольку у треугольника три вершины, а значит, и три высоты. Далее мы выясним, что все три высоты пересекаются в одной точке. Но в тупоугольном треугольнике высоты расположены следующим образом:

 

Рис. 4. Высоты тупоугольного треугольника

Перпендикуляр, опущенный с вершины С на прямую ВА, это перпендикуляр , который является высотой треугольника.  – это перпендикуляр, опущенный с вершины В на прямую СА, которая содержит сторону АС.  – это вторая высота треугольника. – третья высота треугольника. Высоты или их продолжения пересекаются в одной точке. Это будет доказано далее.

Решение задач

Пример 1: Медиана AD треугольника АВС продолжена за сторону ВС на отрезок DE, равный AD, и точка Е соединена с точкой С.

1.  Докажите, что ∆АВD = ∆ECD.

2.  Найдите ∠АСЕ, если ∠ACD = , ∠ABD = .

Дано: BD = CD, AD = ED.

Доказать: ∆ABD = ∆ECD.

Доказательство: Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 5. Чертеж к примеру 1

 

треугольник ABD = треугольнику ECD по первому признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

Дано: BD = CD, AD = ED, ∠ACD = , ∠ABD = .

Найти: ∠АСЕ.

Решение: Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 6. Чертеж к примеру 1

Воспользуемся результатами предыдущей задачи, что треугольник ABD = треугольнику ECD. Треугольники равны, значит, и равны их соответствующие элементы. ∠ECD =∠ABD = .∠ACE = ∠ECD + ∠ACD = +=.

Ответ: ∠ACE = .

Пример 2: треугольник АВС =  треугольнику .

Доказать: медианы ВМ и  равны.

Доказательство: Выполним пояснительный рисунок:

Рис.7. Чертеж к примеру 2

1 способ:

Отсюда следует, что треугольник АВМ = треугольнику . А из равенства треугольников следует, что ВМ = , что и требовалось доказать.

2 способ: совмещение треугольников АВС и . При этом точка В перейдет в точку , а точка М в точку . Значит, отрезки ВМ и  совместятся. ВМ = .

Ответ: Доказано.

На сегодняшнем уроке мы познакомились с медианами, биссектрисами и высотами треугольника. С этими важными элементами мы будем встречаться неоднократно. На следующем уроке мы рассмотрим равнобедренный треугольник и его свойства.

 

Список рекомендованной литературы

1. Александров  А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А.  – М.: Просвещение, 2010.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Обобщающий урок по геометрии в 7-м классе (Источник).

2. Прямая линия, отрезок (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. №28(а). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А.  – М.: Просвещение, 2010.

2. На стороне АС треугольника АВС отмечена такая точка К, что периметры треугольников АВК и ВСК отличаются на 5 см. Найдите периметр треугольника АВС, если АВ + АК = 30 см.

3. Какие элементы (части) треугольника совпадут при перегибании его по биссектрисе?

4. *Докажите, что если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то угол, из вершины которого проведена медиана, равен сумме двух других углов.