Определение окружности и ее элементов
Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из множества точек, которые равноудалены от заданной точки.
На рисунке 1 изображена окружность.
Рис. 1. Окружность
Сокращенная запись заданной окружности – это Окр (O, r), что читается: «Окружность с центром в точке О и радиусом r». Точка, от которой остальные точки являются равноудаленными, называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр и точку, лежащую на окружности, называется радиусом. Если соединить две точки, лежащие на окружности, можно провести отрезок, который называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
Таким образом, существуют следующие обозначения:
О – центр окружности;
OM = r – радиус окружности;
OM = ON = r – радиусы окружности;
MN – хорда;
АМ – диаметр;
АM = 2r – связь между радиусом и диаметром.
Решение задач
Любые две точки рассекают окружность на две дуги, например: дуги NLM и NAM для заданных точек N и M.
Пример 1: На рисунке 2 изображена окружность. Определить центр, радиус, хорды, диаметр и возможные дуги.
Решение:
Рис. 2. Чертеж к примеру 1
Определим основные элементы данной окружности:
О – центр окружности;
OE = OD = OA = OC – радиусы окружности;
EF, BA – хорды;
DС – диаметр.
В данный момент вспомним определение круга. Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью. Совершенно понятно, что различие окружности от круга следующее: окружность – это линия, а круг – это часть плоскости, которую ограничивает данная линия. К примеру, на рисунке 3 изображен круг.
Рис. 3. Круг
Пример 2: На рисунке изображена окружность с диаметрами АВ и СD. Докажите, что хорды АС и BD равны. Докажите, что хорды ВС и АD равны. Докажите, что углы BАD и BСD равны.
Рис. 4. Чертеж к примеру 2
Решение:
Для начала выясним, что СО = ОD = ОВ = ОА, так как указанные отрезки – радиусы одной и той же окружности. Будем доказывать указанные утверждения цепочками треугольников. Например, 
по первому признаку, так как ОВ = ОА как радиусы, СО = ОD аналогично, 
как вертикальные. Из равенства треугольников следует, что АС = ВD.
Далее докажем, что 
аналогично по первому признаку. ОD = ОА, СО = ОВ как радиусы, а 
как вертикальные. Из равенства треугольников следует, что АD = ВC.
Далее докажем, что 
по третьему признаку. BD – общая сторона у треугольников, АD = CВ по доказанному утверждению в п. 2, АВ = СD как диаметры окружности. Из равенства треугольников следует, что 
.
Что и требовалось доказать.
Пример 3: отрезок МК – диаметр окружности, а РМ и РК – равные хорды. Найдите угол РОМ.
Рис. 5. Чертеж к примеру 3
Решение:
По определению, 
– равнобедренный, так как РК = РМ. Поскольку ОК – ОМ – радиусы окружностей, то РО – медиана, проведенная к основанию . По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является высотой, соответственно,
.
Ответ: 90°.
Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы.
- Справочный портал calc.ru (Источник).
Рекомендованное домашнее задание.
- № 99. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.
- Из точки данной окружности проведены две хорды, равные радиусу. Найдите угол между ними.
- Докажите, что любой луч, исходящий из центра окружности, пересекает окружность в одной точке.
- Докажите, что диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.
