Перпендикуляр к прямой

Этот видеоурок доступен по абонементу

Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы подробно рассмотрим понятие перпендикуляра к прямой и докажем важную теорему.

Вначале вспомним определение перпендикулярных прямых. Далее сформулируем и докажем теорему о двух прямых, перпендикулярных к третьей. Далее дадим определение перпендикуляра к прямой, сформулируем и докажем важную теорему о том, что из любой произвольной точки можно провести единственный перпендикуляр к заданной прямой.

В конце решим несколько задач на пройденную тему.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Повторение перпендикулярности двух прямых

Для начала вспомним важный факт: две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.

Рис. 1. Перпендикулярные прямые

АС⊥ВD, поскольку четыре угла по 90°. Напомним также, что при пересечении любых прямых образуются четыре угла: 2 вертикальных, которые равны между собой, еще пара равных вертикальных углов. a и b – смежные углы. И по теореме о смежных углах a + b = 180°.

Рис. 2. Пересечение прямых

В единственном случае a = b = 90°. В этом случае прямые АС и ВD называются перпендикулярными.

Теорема о двух прямых, перпендикулярных к третьей

Теорема 1: Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Рис. 3. Чертеж к теореме 1

Отсюда следует, что AA₁ и BB₁не имеют общих точек. Прямые AA₁ и BB₁можно продлить бесконечно, но при этом они не пересекутся. В этом заключается смысл теоремы.

Определение перпендикуляра к прямой

Определение: Пусть прямые АН и a перпендикулярны. Мы знаем, что чтобы все четыре угла при этих прямых были по 90°, необходимо, чтобы один из них был прямым. Отрезок АН называют перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой a, если прямые АН и a перпендикулярны. При этом точка Н называется основанием перпендикуляра.

Рис. 4. Чертеж к определению перпендикуляра

В данном случае перпендикуляр – это отрезок. Значит, перпендикуляр к прямой – это отрезок.

Теорема 2: Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Рис. 5. Чертеж к теореме 2

Теорема единственности перпендикуляра, проведенного из произвольной точки к заданной прямой

Существует множество точек, которые не лежат на прямой a. Из любой точки А, не лежащей на данной прямой, можно провести перпендикуляр к прямой. К тому же этот перпендикуляр единственный.

Дано: точка А не принадлежит прямой a.

Доказать: существует единственный отрезок АН, где АН.

Доказательство:

1. Проведем 2 равных угла. ∠АВС =∠МВС или ∠1 = ∠2.

2. Равные углы можно совместить наложением. При этом точка А перейдет в точку A₁. ВА = ВA₁(перегибание по прямой ВС).

3. Соединим точки А и A₁. Получим точку Н. Углы ∠ВНА = ∠3, ∠ВНA₁ = ∠4.

Следовательно, треугольники ВНА = ВНA₁ по первому признаку равенства треугольников, то есть по углу и двум прилежащим сторонам. Из равенства треугольников следует равенство всех элементов. А значит, ∠3 = ∠4. Эти углы лежат против равных сторон. Два смежных равны только в случае, если каждый из них равен по 90°. А значит, АН^ВС. Мы доказали, что из точки А можно провести перпендикуляр к прямой a.

Рис. 6. Чертеж к доказательству теоремы 2(1)

Единственность перпендикуляра, проведенного из точки А к прямой, докажем методом «от противного».

5. Предположим, что из точки А можно провести к прямой a два разных перпендикуляра.

АН ⊥ a, АH₁⊥ a.

Рис. 7. Чертеж к доказательству единственности перпендикуляра

Это невозможно, поскольку из разных точек прямой a проведены 2 перпендикуляра, которые имеют общую точку А. Мы получили противоречие, значит, наше предположение неверно. Из точки А можно провести лишь один перпендикуляр к прямой a.

Решение задач

Пример 1: Точки А и С лежат по одну сторону от прямой a. Перпендикуляры АВ и СD к прямой a равны.

1. Докажите, что АВD = ∠CDВ.

2. Найдите ∠АВС, если ∠АDВ = 44°.

Дано: А) АВ⊥ a, CD ⊥ a.

Доказать: ∠ADB = ∠CDB.

Доказательство:

Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 8. Чертеж к примеру 1(а)

Доказательство основано на понятии перпендикуляра из точки к прямой. Отсюда следует, что ADB = CDB, что и требовалось доказать.

Дано: Б) АВ⊥ a, CD⊥ a. AB = CD, ∠ADB = 44°. Найти ∠АВС.

Доказательство:

Выполним пояснительный рисунок:

Рис. 9. Чертеж к примеру 1(б)

1. ∆ABD = ∆CDB. (AB = CD, BD – общая, ∠ABD = ∠CDB). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. AD = CB.

2. ∠ADB = ∠CBD = 44°. Поскольку эти углы лежат против равных сторон AB и CD соответственно.

3. ∠АВС = 90° - 44° = 46°

Ответ: 46°.

На сегодняшнем уроке мы рассмотрели понятие перпендикуляра к прямой и доказали теорему об этом перпендикуляре. На следующем уроке мы познакомимся с медианой, биссектрисой, высотой треугольника.

Список рекомендованной литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5 изд. – М.: Просвещение.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

Обобщающий урок по геометрии в 7-м классе (Источник).
Прямая линия, отрезок (Источник).

Рекомендованное домашнее задание:

1. №13(б). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

2. Один из смежных углов в 3 раза больше другого. Найдите эти углы.

3. Прямые BH и AH взаимно перпендикулярны и ∠BHM = ∠AHC. Докажите, что НМ⊥НС.

4. № 14(г). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.