Согласитесь: одно дело смотреть, как кто-то ездит на велосипеде, и совсем другое – попробовать ездить самому. Практика помогает не только закрепить умения и, если нужно, довести их до автоматизма, но и приобрести решительность в своих действиях.

Мы уже обладаем достаточно большим арсеналом геометрических инструментов – аксиом, определений, теорем. Но этими инструментами необходимо научиться пользоваться. Этим сейчас мы с вами и займемся.

Задачи на соотношение сторон и углов в треугольнике

Прежде чем приступить к решению задач, сделаем еще одно важное замечание: чтобы научиться ездить на коньках по кругу и не падать, достаточно сходить на каток несколько раз, а чтобы стать олимпийской чемпионкой, нужно тренироваться 6 дней в неделю. Все это применимо и к математике. Тем, кто не собирается в дальнейшем связывать свою жизнь с математикой, достаточно решать небольшое количество задач для того, чтобы отработать несложные навыки и уметь применять их на практике.

Тем же, кто захочет углубиться в изучение математики и планирует выбрать профессию, которая с ней связана, нужно решать много самых разных задач, чтобы довести некоторые навыки до автоматизма.

Задача 1

Построить треугольник с периметром и соотношением длин сторон .

Решение

Вспомним, что периметр – это сумма длин сторон треугольника.

Зная только периметр, построить треугольник не получится. Почему? Потому что с одним и тем же периметром существует бесконечное множество разных, не похожих друг на друга треугольников (см. рис. 1).

Рис. 1. Различные треугольники, имеющие один и тот же периметр

Но мы знаем соотношение сторон, т. е. его форму. Значит, сможем решить задачу. Для этого нам нужно сначала найти стороны этого треугольника.

Такую задачу мы уже много раз решали. Есть три величины, известна их сумма () и соотношение: . Вспомним, что если величины относятся как , то их можно обозначить как и . Для трех величин все аналогично: длины сторон относятся как , можем обозначить их как:

, ,

По условию их сумма (периметр) равна :

Решаем полученное уравнение:

Значит, длины сторон равны:

Проверим, что сумма действительно равна :

Осталось построить треугольник по трем сторонам.

Начертим первую сторону, например . Из точки надо провести вторую сторону, . Но мы не знаем направления, в котором ее нужно проводить (мы не знаем углы треугольника). Понятно одно: как бы мы ее ни провели, точка будет на расстоянии от точки . Вот и изобразим все возможные варианты, где может оказаться такая точка на плоскости (см. рис. 2).

Рис. 2. Возможные варианты, где может находиться точка на плоскости

Множество точек, удаленных от данной точки на одно и то же расстояние, – это окружность. Рисуем окружность с центром в точке и радиусом . Ровно такие же рассуждения для третьей стороны . Проводим окружность с центром в точке и радиусом . Окружности пересеклись в двух точках (см. рис. 3).

Рис. 3. Окружности с центрами в точках и и радиусами и имеют две точки пересечения

Почему получились две возможные точки ?

Мы говорили, что три стороны треугольника однозначно задают треугольник. Почему же у нас получилось две возможных точки , каждая из которых удовлетворяет условию задачи?

На самом деле, оба полученных треугольника равны между собой (у них равны длины всех трех сторон). Более того, они симметричны относительно стороны (см. рис. 4).

Рис. 4. Равные треугольники и , симметричные относительно

Доказательство

Опустим перпендикуляр из произвольной точки стороны (для стороны доказательство аналогично) на сторону и продлим до точки – пересечения со стороной (см. рис. 5).

Рис. 5. Полученные треугольники и

Рассмотрим треугольники и . У них:

1. – общая сторона;

2. (т. к. , );

3. (как соответственные углы равных треугольников и ).

Из второго признака равенства треугольников следует, что треугольники и равны (см. рис. 6).

Рис. 6. Треугольники и равны по второму признаку равенства треугольников

Получаем, что если из любой точки треугольника опустить перпендикуляр на и продлить его на такую же длину, то получим точку треугольника . Значит, по определению осевой симметрии, которое мы формулировали, когда изучали свойства равнобедренного треугольника, эти два треугольника симметричны.

Когда мы говорили о том, что три элемента треугольника однозначно его задают, то имели в виду следующее: все равные треугольники на плоскости эквивалентны друг другу, мы можем считать их одним и тем же треугольником. Действительно, на плоскости нет никаких ориентиров (точек отсчета), поэтому отличить такие два треугольника мы не можем (см. рис. 7).

Рис. 7. Эквивалентные друг другу на плоскости треугольники

Обозначим одну из точек пересечения как . Она находится на расстоянии от точки и от точки . Значит, соединив все точки, мы получили нужный треугольник (см. рис. 8).

Рис. 8. Искомый треугольник с периметром и соотношением длин сторон

Задача решена

Как видим, полученный треугольник оказался прямоугольным. Треугольник с отношением сторон использовался еще в Древнем Египте для построения прямого угла. Достаточно было длинную веревку разметить на одинаковых частей и вбить три колышка так, чтобы получился треугольник со сторонами . Тогда против большей стороны лежал больший угол – прямой.

Этот способ удобно использовать и сейчас, если у вас под рукой нет подходящих приборов, а нужно быстро построить прямой угол (например, наметить границы прямоугольного участка).

Давайте попробуем решить похожую задачу, немного изменив соотношение сторон.

Задача 1'

Построить треугольник с периметром и соотношением длин сторон .

Решение

Мы уже знаем алгоритм решения:

Казалось бы, задача решена. Но давайте попробуем построить данный треугольник. Нарисуем сторону . И построим окружности радиусами и с центрами в точках и . Они не пересекутся, т. е. построить треугольник с такими длинами сторон нельзя (см. рис. 9).

Рис. 9. Окружности с центрами в точках и и радиусами и не пересекаются

Почему так? Вспомним, что мы говорили: не из любых трех отрезков можно построить треугольник (см. рис. 6). Для этого нужно, чтобы выполнялось неравенство треугольника – сумма длин любых двух сторон больше длины третьей стороны: .

Рис. 10. Отрезки , из которых нельзя построить треугольник

В нашем случае: , т. е. неравенство треугольника не выполняется и треугольник построить нельзя. Более того, мы могли это заметить еще тогда, когда выписали длины сторон в общем виде: .

Задача решена.

Можно сделать полезный практический вывод: если вам когда-нибудь понадобится сколотить треугольник из трех дощечек, сначала посмотрите, удовлетворяют ли их длины неравенству треугольника.

Еще одно соотношение длин сторон

Рассмотрим еще один вариант условия этой задачи.

Задача

Построить треугольник с периметром и соотношением длин сторон .

Решение

Используем тот же алгоритм решения:

Попробуем построить данный треугольник. Нарисуем сторону . И построим окружности радиусами и с центрами в точках и . Они будут соприкасаться в одной точке , которая лежит на отрезке (см. рис. 11).

Рис. 11. Окружности с центрами в точках и и радиусами и соприкасаются в одной точке

Казалось бы, точку нашли, а треугольник построить не удалось. В данном случае выполняется соотношение: . Такая ситуация возможна только в том случае, если одна из точек лежит на отрезке, соединяющем две другие. Иногда в этом случае говорят, что треугольник «вырожденный».

Обратите внимание, что условие является как необходимым, так и достаточным (т. е. равносильным) условию: точка лежит на отрезке . Если нам нужно будет доказать, что точки , и лежат на одной прямой, то достаточно будет доказать, что для отрезков , и выполняется соотношение: .

Очень похожее решение у задач на соотношение углов в треугольнике.

Задача 2

Построить треугольник по заданной стороне между двумя острыми углами и соотношением углов .

Решение

Теперь нам нужно найти градусные меры углов, а не длины сторон. Но математическая модель для решения этой задачи будет точно такая же, как и для длин сторон. Только раньше нам был дан периметр треугольника (сумма длин сторон), а сейчас мы знаем, что в любом треугольнике сумма углов равна (см. рис. 12).

Рис. 12. Треугольник с соотношением углов

Составляем уравнение:

Получаем:

В отличие от сторон единственное условие для углов треугольника: их сумма должна равняться . Мы его учли, когда составляли уравнение, поэтому треугольник с найденными углами всегда будет существовать.

Идем дальше. Что значит «по заданной стороне»? Это значит, что мы должны уметь строить треугольник для любой длины стороны, которую нам могут предложить. Для построения мы возьмем произвольный отрезок, но при этом должны следить, чтобы наш алгоритм построения треугольника мог быть использован для отрезка любой длины (необязательно именно такой, какой мы его выбрали).

Итак, построим заданную сторону. Т. к. она лежит между острыми углами, то это углы . Осталось отложить эти углы с разных концов стороны и пересечь построенные лучи (см. рис. 13).

Рис. 13. Треугольник с углами , и

Задача решена.