Треугольники

Определение треугольника и его элементов

Определение:  Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, соединенных отрезками.

                          

Рис. 1. Треугольник АВС

На данном рисунке изображен треугольник АВС. Обозначение выглядит так: .

Точка С не принадлежит отрезку АВ. Точки А, В, С называются вершинами треугольника, а отрезки АВ, АС, ВС называются его сторонами. Логично, что треугольник имеет три угла: ∠А, ∠В, ∠С, или ∠ВАС, ∠АВС, ∠ВСА. В геометрии принято, что угол А обозначается греческой буквой α, а сторона, лежащая напротив этого угла, обозначается а, поэтому ∠А = α, ВС = а. Аналогично, ∠В = β, АС = b, ∠С = γ, АВ = c.

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.

Равенство треугольников

Вспомним, какие фигуры называются равными. Фигура F1 и фигура F2 называются равными, если их можно совместить наложением.

 

Рис. 2. Равные треугольники АВС и А₁В₁С₁

Треугольники АВС и А₁В₁С₁ являются равными, так как их можно совместить наложением. Из этого факта следует, что у равных фигур равны их соответствующие элементы. Таким образом, если стороны , то и углы .

Как же доказать равенство треугольников? Первый способ – по определению. Необходимо совместить наложением два треугольника. Если их элементы совпадают, треугольники равны. Однако данный процесс трудоемкий. Второй способ – сравнить части элементов, но с гарантией совмещения всех остальных элементов, то есть разработать признаки равенства.

Решение задач

Рассмотрим следующий пример:

Пример 1: Начертите треугольник DEF таким, чтобы угол Е был прямым. Назовите стороны, лежащие против соответствующих вершин.

Решение:

                                         

Рис. 3. Рисунок к примеру 1

Ответ: сторона DF лежит напротив угла Е, сторона EF лежит напротив угла D, сторона DE лежит напротив угла F.

Пример 2: Начертите треугольник DEF таким, чтобы угол Е был прямым. Назовите углы, лежащие против соответствующих сторон.

Решение:

                                         

Рис. 4. Рисунок к примеру 2

Ответ: Угол Е лежит напротив стороны DF, угол D лежит напротив стороны EF, угол F лежит напротив стороны DE.

Пример 3: Начертите треугольник DEF таким, чтобы угол Е был прямым. Укажите углы, которые прилежат к соответствующим сторонам.

Решение:

                                         

Рис. 5. Рисунок к примеру 3

Ответ: Углы D и F прилежат к стороне DF, углы Е и F прилежат к стороне EF, углы Е и D прилежат к стороне ED.

Пример 4: Периметр треугольника равен 48 см, а одна из сторон равна 18 см. Найдите две другие стороны, если их разность равна 4,6 см.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок.

                           

Рис. 6. Рисунок к примеру 4

Известно, что периметр (сумма всех сторон треугольника) равен 48 см. Запишем это равенство: , также известно, что сторона a = 18 см, а . Выразим из соотношения периметра сумму .

. Выразим из соотношения разности двух сторон любую сторону:  и подставим в соотношение . Получим и решим уравнение.  Следовательно,

Ответ: 12,7 см и 17,3 см.

Пример 5: Сторона АВ треугольника АВС равна 17 см. Сторона АС вдвое больше стороны АВ, а сторона ВС на 10 меньше стороны АС. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Выполним пояснительный рисунок:

                            

Рис. 7. Рисунок к примеру 5

Поскольку сторона АС вдвое больше стороны АВ, то АС = 2 · AB = 2 · 17 = 34 см. Далее найдем сторону ВС, по условию она меньше стороны АС на 10 см, то есть BC = AC – 10 = 34 – 10 = 24 см.

Периметр мы можем найти, сложив длины всех сторон треугольника Р = АС + ВС + АС = 34 + 24 + 17 = 75 см.

Ответ: 75 см.

Пример 6: Отрезок BD = DC. Сравните периметры треугольников АВС и ABD.

Решение:

Рис. 8. Рисунок к примеру 6

Выразим периметры соответствующих треугольников:

 Чтобы сравнить, какой периметр больше, мы воспользуемся стандартным методом в математике – методом вычитания. Вычтем периметры треугольников. Учитываем также, что BD = DC.

Таким образом, мы получили положительное число (длина стороны ВС), поэтому .

Ответ: .

           

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Треугольник (Источник).
2. Треугольник. Справочник (Источник).
3. Прямая линия, отрезок (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1.  Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

2.  Вычислите периметр треугольника со сторонами 1 дм, 12 см и 30 мм.

3.  Запишите прилежащие и противолежащие углы к сторонам треугольника КМР.

4.  *Периметр треугольника равен 27 см. Сторона АВ вдвое больше стороны ВС, а сторона АС втрое больше стороны АВ. Найдите длины сторон треугольника.