Неравенство треугольника можно обобщить на случай любого многоугольника (т. е. сформулировать так, чтобы оно было верно не только для треугольника, но и для произвольного многоугольника): длина отрезка, соединяющего концы ломаной, не больше длины самой ломаной (см. рис. 10):

Рис. 10. Обобщенное неравенство треугольника:

Попробуйте доказать этот факт самостоятельно, используя неравенство треугольника. Ознакомиться с доказательством можно ниже.

Доказательство обобщенного неравенства треугольника

Доказательство (для произвольного четырехугольника)

Рассмотрим произвольный четырехугольник (см. рис. 11).

Рис. 11. Произвольный четырехугольник

Докажем, что:

Проведем диагональ (см. рис. 12).

Рис. 12. В произвольном четырехугольнике проведена диагональ

В треугольнике :

В треугольнике :

Тогда:

Поскольку такое рассуждение можно повторить для любой из сторон, то получаем, что в любом четырехугольнике любая из сторон меньше суммы трех других.

Доказано.

Доказательство (для произвольного пятиугольника)

Рассмотрим произвольный пятиугольник (см. рис. 13).

Рис. 13. Произвольный пятиугольник

Докажем, что:

Проведем диагональ (см. рис. 14).

Рис. 14. В произвольном пятиугольнике проведена диагональ

В четырехугольнике (как мы только что доказали):

В треугольнике :

Тогда:

Аналогично получили, что в любом пятиугольнике любая из сторон меньше суммы четырех других.

Доказано.

Доказательство (для произвольного n-угольника).

Рассмотрим произвольный n-угольник (см. рис. 15).

Рис. 15. Произвольный n-угольник

Доказываем его для произвольного -угольника (см. рис. 16), затем проводим в n-угольнике диагональ (см. рис. 17).

Рис. 16. Произвольный -угольник

Рис. 17. В произвольном n-угольнике проведена диагональ

Выписываем неравенство для -угольника :

Затем – неравенство для треугольника :

Тогда:

Доказано.

Поскольку мы доказали утверждение для пятиугольника, с помощью описанных рассуждений можем доказать его для шестиугольника, затем перейти к семиугольнику и т. д.

Схема доказательства, которую мы использовали, очень популярна в математике и называется математической индукцией (индукция – переход от частных рассуждений к общим).

Ее суть состоит в следующем: доказываем утверждение для какого-то фиксированного случая, который называется базой индукции (в нашем случае – треугольник, ), предполагая, что для какого-то утверждение выполнено, доказываем, что оно также будет выполнено для (называется переход индукции). В таком случае можно считать, что утверждение доказано для всех натуральных : мы доказали его для (база), а переход позволяет нам перейти от к , от к и т. д. – до бесконечности.

Подробнее с методом математической индукции мы познакомимся на уроках алгебры в старших классах.

Кратчайшее расстояние на сфере

Неравенство треугольника еще раз подтверждает тот факт, что кратчайшее расстояние между двумя точками – это длина отрезка прямой, который их соединяет (см. рис. 18).

Рис. 18. Кратчайшее расстояние между двумя точками – это длина отрезка прямой, который их соединяет

В физике это формулируется так: путь (длина траектории движения от к ) всегда не меньше модуля перемещения (расстояния между и по прямой).

Все приведенные рассуждения про кратчайшее расстояние между точками верны для плоскости. Если рассмотреть, например, движение по поверхности сферы (так перемещаются корабли, самолеты), то определить кратчайшее расстояние между точками сложно – по сфере между ними можно провести разные кривые (отрезок прямой, понятно, провести не получится) (см. рис. 19).

Рис. 19. Определить кратчайшее расстояние между точками при движении по поверхности сферы сложно

Задача нахождения кратчайшего расстояния между точками на сфере имеет большое прикладное значение (ее решение позволяет существенно экономить время, а значит, и топливо, при перемещении самолетов и кораблей). Решением этой задачи является специальная кривая – ортодромия: «ортос» – прямой, «дромос» – бег, путь) (см. рис. 20).

Рис. 20. Ортодромии

Более подробно о том, что это за кривые, вы можете почитать в интернете, но для того чтобы разобраться в деталях, вам понадобится математический аппарат, который мы изучим только в старших классах.