Чтобы доказать симметричность равнобедренного треугольника, докажем сначала несколько важных свойств.

Теорема 1

У равнобедренного треугольника углы при основании равны.

Доказательство

Проведем биссектрису (см. рис. 10).

Рис. 10. Равнобедренный треугольник с проведенной биссектрисой

Треугольники и равны по первому признаку:

– боковые стороны;
– общая;
, т. к. – биссектриса.

Следовательно, .

Теорема доказана.

Из равенства треугольников и мы получаем еще два факта:

, т. е. – середина ;
, а т. к. они еще и смежные (, следовательно, ), значит, они прямые. Т. е. отрезок перпендикулярен .

Объединим эти два факта в одну теорему.

Теорема 2

Биссектриса в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является одновременно медианой и высотой.

Т. е., если мы проводим отрезок как биссектрису (делим пополам), то он одновременно будет являться и медианой, и высотой (см. рис. 11).

Рис. 11. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой

Как вы думаете, если мы начнем строить отрезок как медиану или высоту, будет ли он сразу являться и всем остальным? Конечно, да. Доказательство тоже очень простое. Попробуйте это сделать самостоятельно, а ознакомиться с доказательствами можно ниже.

Доказательство

Теорема 1

Медиана, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике, является биссектрисой и высотой.

Доказательство

Проведем в равнобедренном треугольнике медиану (см. рис. 12).

Рис. 12. Равнобедренный треугольник с проведенной медианой

Треугольники и равны по третьему признаку:

– боковые стороны равнобедренного треугольника.
, т. к. – медиана.
– общая.

Тогда , следовательно, – биссектриса.

Аналогично . Учитывая, что они смежные, то , откуда: , т. е. – высота.

Теорема доказана.

Теорема 2

Высота, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике, является биссектрисой и медианой.

Доказательство

Если предположить, что высота не является биссектрисой, т. е. другая биссектриса, которая обязана быть высотой (по доказанной ранее теореме). Значит, у нас будет две высоты из точки . Но это невозможно, т. к. из точки на прямую можно опустить только один перпендикуляр. Значит, также является биссектрисой, а значит, и медианой.

Теорема доказана.

С помощью доказанных теорем можно строго доказать, что равнобедренный треугольник обладает осевой симметрией. Причем осью симметрии будет являться высота (она же биссектриса, высота), проведенная из точки .

Рассмотрим произвольную точку равнобедренного треугольника на боковой стороне (см. рис. 13) (для точек основания проведите доказательство самостоятельно).

Рис. 13. На боковой стороне равнобедренного треугольника отметили произвольную точку

Опустим из точки перпендикуляр на высоту и продлим его до пересечения со второй боковой стороной (точкой ) (см. рис. 14).

Рис. 14. Из произвольной точки опустили перпендикуляр и продлили его до пересечения со второй боковой стороной

Наша задача: доказать, что . Рассмотрим треугольники и , в них:

– общая сторона;
;
(т. к. – биссектриса).

Тогда треугольники и равны по второму признаку равенства. Значит, и равнобедренный треугольник является симметричным относительно оси .

Теорема доказана.