08. Второй и третий признаки равенства треугольников

Повторение понятия «равные треугольники», первого признака равенства треугольников

Для начала вспомним из материалов предыдущих уроков, что две фигуры называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке указаны два равных отрезка и два равных угла.

Доказательство признаков равенства треугольников

Рассмотрим теперь равенство треугольников. Треугольники называются равными, если их можно совместить наложением. В таком случае совместятся все стороны и углы треугольников.

Теперь мы готовы сформулировать и доказать второй признак равенства треугольников.

Второй признак равенства треугольников:

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, такие треугольники равны.

Теорема: Дано , , .

Доказать: и .      

Доказательство: Выполним наложение данных в условии фигур. В результате данного действия вершины и , и , отрезки и совпадают. Если рассматривать треугольники в целом, то  совпадет с .

Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников:

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема: Дано , , .

Доказать: и . 

Доказательство: Выполним наложение данных в условии фигур. В результате

данного действия имеем три случая:

1. Луч внутри .

В таком случае по первому признаку.

1. Луч совпадает с одной из сторон .

2. Луч лежит вне угла .

Случаи 2 и 3 предлагаем рассмотреть самостоятельно.

Теорема доказана.

Решение задач

Рассмотрим некоторые задачи, чтобы закрепить пройденный материал.

Пример 1: Известно, что , , , . Найти стороны и .

Решение: Выполним пояснительный рисунок к задаче.

Поскольку , , - общая сторона, то треугольники и равны по второму признаку. Из равенства треугольников следует, что , .

Ответ: 11 см, 19 см.

Пример 2: В изображенных треугольниках и , , , и медианы и тоже равны. Доказать равенство треугольников: и .

Доказательство:                                                    

Вследствие того, что и – середины равных отрезков, то . , (по условию). Следовательно, и  по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов .

,  (по условию),  (по доказанному). Следовательно, и  по первому признаку.

Что и требовалось доказать.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «mathematics.ru» (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. № 37. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А.  – М.: Просвещение, 2010.

2. На рисунке , . Докажите, что .

3. На рисунке задачи № 2 , . Докажите, что , .

4. Докажите перпендикулярность прямых и , если , а .