Третий признак равенства треугольника
Напоминание:
1. Геометрические фигуры, а в данном случае треугольники, равны, если они совмещаются наложением.
Рис. 1. Напоминание 1
треугольник АВС = треугольнику 
, поскольку они совмещаются наложением.
2. Совмещающиеся (соответственные) элементы равны
Вспомним формулировку третьего признака равенства треугольников.
Третий признак, как и любой другой признак, гарантирует равенство (совмещение) треугольников. Третий признак – это признак по трем сторонам. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Рис. 2. Чертеж к третьему признаку равенства треугольников
Отсюда следует, что треугольники АВС и
равны по третьему признаку. А это означает равенство всех соответственных углов.
Решение задач
Пример 1:
Дано:АС = ВС, АD = BD, ∠CAD =
Найти:∠CBD.
Решение: Выполним пояснительный рисунок:
Рис. 3. Чертеж к примеру 1
Значит, треугольники АСD и ВСD равны по третьему признаку равенства треугольников, то есть по трем сторонам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов. ∠СВD = ∠САD =
Ответ:
Пример 2:
Дано: АО = ОВ, СО = ОD.
Доказать:треугольник ADC = треугольникуBCD.
Доказательство. Выполним пояснительный рисунок:
Рис. 4. Чертеж к примеру 2
1. треугольник АОС = треугольнику BOD. Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (СО = OD – по условию, АО = ОВ – по условию, ∠АОС = ∠DOB – как вертикальные). Отсюда следует, что АС = BD. Обозначим их за 
.
2. треугольник ВОС = треугольнику АOD. Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (СО = OD – по условию, АО = ОВ – по условию, ∠СОВ = ∠DOА – как вертикальные). Отсюда следует, что ВС = АD. Обозначим их за 
.
3. 
.
Отсюда следует, что треугольники ADC и BCD равны по третьему признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.
Пример 3:
Дано: АВ = CD, AC = BD, ∠BAC =
Найти:∠CDB.
Решение: Выполним пояснительный рисунок:
Рис. 5. Чертеж к примеру 3
1) треугольник ВАС = треугольнику CDB по третьему признаку равенства треугольников (ВС – общая сторона, АВ = CD – по условию, АС = BD – по условию).
2) ∠CDB = ∠ВАС =
. Это следует из равенства треугольников. Оба угла лежат против общей стороны ВС.
Ответ:
Пример 4:
Дано: АВ = ВС = CD = DA.
Доказать:∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.
Доказательство: Выполним пояснительный рисунок:
Рис. 6. Чертеж к примеру 4
1. треугольник АСВ = треугольнику АСD по третьему признаку равенства треугольников (АС – общая сторона, другие стороны равны по условию). Из равенства треугольников имеем равенство соответствующих углов. ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.
2. Треугольник АВС – равнобедренный, а значит,∠1 = ∠3. Треугольник АСD – также равнобедренный, ∠2 = ∠4.
3. ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.
На сегодняшнем уроке мы рассмотрели некоторые типовые задачи на третий признак равенства треугольников. С признаками равенства треугольников мы далее будем встречаться неоднократно. На следующем уроке мы познакомимся с признаками параллельности прямых.
Список рекомендованной литературы
- Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. – М.: Просвещение.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. – М.: Просвещение.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.
Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы
1. Обобщающий урок по геометрии в 7-м классе на тему «Треугольники» (Источник).
2. Прямая линия. Отрезок (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
1. № 39. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.
2. АВ = ВС, АК = КС. Докажите, что треугольник АВК = треугольнику СВК.
3. Докажите равенство равнобедренных треугольников по основанию и высоте, проведенной к ней.
4. На стороне угла А обозначены точки В и С, а на второй – точки М и К так, что АВ = АМ и АС = АК. Докажите, что точка пересечения отрезков ВК и СМ лежит на биссектрисе угла А. Возможно ли воспользоваться этим построением, чтобы разделить на местности угол пополам, не пользуясь углоизмерительными приборами?
