Одна из важных характеристик любой фигуры на плоскости – площадь, которую она занимает. Найдем площадь параллелограмма, используя то, что он разбивается диагональю на два равных треугольника.

Проведем в параллелограмме высоту к основанию (см. рис. 26) (из любой вершины параллелограмма можно провести две высоты – к двум сторонам) (см. рис. 27).

Рис. 26. В параллелограмме проведена высота к стороне

Рис. 27. Из любой вершины параллелограмма можно провести две высоты – к двум сторонам

Площадь треугольника равна:

Площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника :

Итак, площадь параллелограмма равна произведению длины его высоты на длину основания, к которому эта высота проведена:

С другой стороны, мы могли бы сказать, что площадь треугольника равна:

Поэтому площадь параллелограмма также можно вычислять по следующей формуле:

Т. е. площадь параллелограмма равна произведению двух сторон на синус угла между ними (см. рис. 28):

Рис. 28. Площадь параллелограмма равна произведению двух сторон на синус угла между ними

Формула для вычисления площади не только параллелограмма, но и любого четырехугольника:

где и – длины диагоналей, а – угол между ними (см. рис. 29).

Рис. 29. Площадь произвольного четырехугольника равна полупроизведению диагоналей на синус угла между ними

С выводом данной формулы вы можете ознакомиться ниже.

Еще одна формула площади параллелограмма

Мы получили формулы для вычисления площади параллелограмма через длины высоты и стороны, через длины сторон и угол между ними. А можно ли найти площадь параллелограмма, зная его диагонали? Оказывается, можно (если знать еще и угол между ними), причем не только параллелограмма, но и произвольного четырехугольника.

Рассмотрим произвольный четырехугольник , проведем в нем диагонали и , которые пересекутся в точке (см. рис. 30).

Рис. 30. Произвольный четырехугольник с проведенными диагоналями и , которые пересекаются в точке

Введем обозначения (см. рис. 31):

Рис. 31. Введенные обозначения

Тогда площадь четырехугольника равна сумме площадей четырех треугольников , , , :

Вспомним, что синусы смежных углов равны (см. урок Тригонометрические функции произвольных углов. Теоремы синусов и косинусов):

Тогда получаем:

Перегруппируем слагаемые:

Т. к. , , т. е. , то:

Перегруппируем слагаемые:

Т. к. , , т. е. , то:

Если обозначить длины диагоналей и , то получим формулу площади произвольного четырехугольника – полупроизведение диагоналей на синус угла между ними:

Понятно, что эту формулу можно использовать и для нахождения площади параллелограмма, т. к. он является четырехугольником.