Классы
Предметы

Окружность и многоугольники

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Окружность и многоугольники

На этом уроке мы рассмотрим взаимное расположение окружности с прямыми и углами, а также с некоторыми видами многоугольников – треугольниками и четырехугольниками. Как всегда, нас будут интересовать предельные случаи, поэтому мы будем говорить о касательных к окружности (прямая имеет с окружностью одну общую точку), а также о вписанных и центральных углах (вершины которых лежат на окружности и в ее центре соответственно). Также мы обсудим, почему в треугольник всегда можно вписать и описать около него окружность и где будут расположены центры этих окружностей. Наконец, убедимся, что треугольник – единственный многоугольник, обладающий таким свойством, и что уже для четырехугольников это верно не всегда. И обсудим, каким критериям должен удовлетворять четырехугольник, чтобы в него можно было вписать окружность (и описать соответственно).

Как связаны треугольник и окружность

Треугольник – наименьшая возможная замкнутая ломаная. Все остальные многоугольники можно разбить на треугольники, поэтому свойства последних мы подробно изучаем. Окружность определяется всего одним параметром – радиусом, т. е. тоже может считаться простейшей фигурой.

Как связаны эти две простейшие фигуры? Мы знаем, что в любой треугольник можно вписать и вокруг любого треугольника можно описать окружность. Для других многоугольников это уже неверно (см. рис. 1) – вписать или описать вокруг них окружность можно только в том случае, если они удовлетворяют определенным критериям.

Рис. 1. Не всегда вокруг многоугольников можно вписать или описать окружность

На этом уроке мы как раз и займемся изучением вписанных и описанных окружностей многоугольников и их свойств.

 


Почему мы изучаем именно вписанные и описанные окружности?

Понятно, что можно нарисовать очень большую окружность, которая точно охватит весь многоугольник. Или очень маленькую, которая будет полностью лежать внутри многоугольника (см. рис. 2).

Рис. 2. Пример непредельных случаев описанной и вписанной окружностей

Но, во-первых, как мы уже говорили, нас чаще всего будут интересовать предельные случаи. Во-вторых, при решении практических задач нам пригодится приближение окружности с помощью многоугольников (см. рис. 3). Понятно, что чем сильнее они будут похожи на окружность, тем точнее будет приближение.

Рис. 3. Приближение окружности с помощью многоугольников

Приближать можно с избытком (например, если вам нужно  машины для перевозки груза, то вы закажете ), а можно – с недостатком (если поезд отходит в , а маршрутки приезжают на вокзал с интервалом в полчаса, то вы приедете в , а не в ). Так и с приближением окружности – можно взять многоугольник, который немного больше, а можно тот, который немного меньше.

Если большой многоугольник уменьшать, а маленький – увеличивать, то в пределе получится окружность (см. рис. 4).

Рис. 4. При уменьшении большого и увеличении маленького многоугольников в пределе получается окружность

Описанный вокруг окружности многоугольник – это ее минимальное приближение с избытком, а вписанный в окружность многоугольник  – максимальное приближение с недостатком. Поэтому мы и будем изучать именно эти предельные случаи.


 

Свойства взаимного расположения прямой и окружности на плоскости

Для начала вспомним, что мы знаем о самой окружности.

Окружность – это множество точек, удаленных на одно и то же расстояние (радиус) от данной точки (центра).

Основными элементами треугольника (и любого другого многоугольника) являются стороны и вершины. Поэтому начнем с изучения того, как могут быть взаимно расположены прямые, углы и окружности.

Прямая и окружность на плоскости могут располагаться тремя принципиально отличающимися способами:

  1. не иметь общих точек (не пересекаться);
  2. иметь одну общую точку (касаться);
  3. пересекаться в двух точках.

Первый случай нам не особо интересен, остановимся подробно на втором и третьем.

Рассмотрим прямую, которая пересекает окружность в двух точках (см. рис. 5).

Рис. 5. Окружность и прямая имеют две точки пересечения

Тогда отрезок прямой, который лежит внутри окружности, называют хордой (см. рис. 6).

Рис. 6. Хорда – отрезок прямой, который лежит внутри окружности

 


Почему хорда?

Название хорда происходит от греческого слова chorde – «струна». Она действительно напоминает струну музыкального инструмента, т. к. соединяет две точки кривой по прямой – кратчайшему пути (например, линии, ограничивающей музыкальный инструмент, как у гитары).

В свою очередь, слово «струна» («строуна») – старославянского происхождения и обозначает сухожилие (жилу), с помощью которого мышцы крепятся к скелету, что тоже отдаленно напоминает хорду окружности.

Впоследствии понятие хорды перекочевало из геометрии в транспортную логистику и стало обозначать транспортную магистраль, соединяющую периферийные районы города или области по прямой без заезда в центр.

Понятие хорда встречается и в биологии – это длинный эластичный продольный тяж у некоторых животных, который выполняет опорную функцию (у большинства впоследствии заменяется позвоночником). Его другое название – спинная струна. Выделяют отдельный тип животных, которые имеют хорду, – хордовые.

 


 

Понятно, что чем ближе точки окружности друг к другу, тем короче будет хорда.

Начнем удалять одну точку от другой – длина хорды будет сначала увеличиваться, когда хорда пройдет через центр (мы знаем, что в этом случае хорду называют диаметром окружности), достигнет максимума, а дальше ее длина снова будет уменьшаться.

Итак, диаметр – это наибольшая возможная хорда окружности (см. рис. 7).

Рис. 7. Диаметр – наибольшая хорда окружности

Отметим также полезное свойство хорды: т. к. ее концы равноудалены от центра окружности, то он лежит на серединном перпендикуляре к хорде.

Рис. 8. Центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к хорде

Эквивалентное определение: серединный перпендикуляр к отрезку – геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от его концов. Таким образом, серединный перпендикуляр любой хорды проходит через центр окружности.

 


Почему диаметр – самая длинная хорда?

Для доказательства этого утверждения воспользуемся неравенством треугольника (длина стороны треугольника всегда меньше длин двух других его сторон).

Рассмотрим треугольник  (см. рис. 9). Мы знаем, что , а значит, , т. е. .

Рис. 9. Рассматриваемый треугольник

Единственное исключение – когда треугольник  не образуется (или, как мы говорили, он является вырожденным) – если  лежат на одной прямой (см. рис. 10). В этом случае: .

Рис. 10. Вырожденный треугольник


 

Теперь рассмотрим случай, когда у прямой и окружности одна общая точка. В этом случае говорят, что прямая касается окружности.

Соединим точку касания  и центр окружности  (см. рис. 11).

Рис. 11. Точка касания , соединенная с центром окружности

Если мы постепенно двигали прямую так, чтобы две точки пересечения сближались, пока не слились в одну точку касания (см. рис. 12), то сразу напрашивается предположение, что отрезок  перпендикулярен касательной.

Рис. 12. Перемещение прямой, при котором две точки пересечения сливаются в одну точку касания

Докажем строго это утверждение. Выберем любую другую точку  на касательной и соединим с центром окружности (см. рис. 13).

Рис. 13. Произвольная точка , соединенная с центром окружности

Точка  лежит вне окружности, а значит, . Т. е. отрезок  короче любой наклонной, опущенной из точки  на касательную (кратчайшее расстояние от точки  до ). Значит,  – перпендикуляр. Таким образом, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Через точку прямой можно провести только одну перпендикулярную прямую. Поэтому через точку окружности можно провести только одну касательную (она должна быть перпендикулярна радиусу). По пути мы получили метод построения касательной к окружности в данной точке – нужно построить прямую, перпендикулярную радиусу.

Если же точка  лежит вне окружности, то через нее можно провести уже две касательные –  и  (см. рис. 14).

Рис. 14. Касательные  и , проведенные через точку , лежащую вне окружности

Понятно, что в силу симметрии отрезки  и  должны быть равны. Докажем это утверждение строго.

Соединим точки  и  и рассмотрим два полученных треугольника –  и  (см. рис. 15).

Рис. 15. Рассматриваемые треугольники  и

, т. е. это два прямоугольных треугольника. Гипотенуза  у них общая, а катеты  и  являются радиусами, следовательно, равны друг другу. Прямоугольные треугольники равны по катету и гипотенузе, следовательно, равны и нужные нам отрезки касательных. Таким образом, отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности, равны.

Свойства центральных, вписанных и описанных углов

Основные свойства взаимного расположения окружности и прямой мы рассмотрели. Переходим к окружности и углу.

Если вершина угла совпадает с центром окружности, то такой угол называют центральным. Величина центрального угла может меняться от  до . Длина дуги окружности, на которую он опирается, меняется в этом случае от нуля до длины полной окружности – до  (см. рис. 16).

Рис. 16. Центральный угол  и опорная дуга

Но чаще всего нам будет важна не истинная длина дуги, а только то, какую часть она составляет от полной окружности. В этом случае удобно применять те же единицы измерения, что и для углов. Полная окружность – это , половина окружности – это  и т. д. Тогда очевидно, центральный угол всегда равен градусной мере дуги, на которую он опирается. Итак, центральный угол равен градусной мере дуги окружности, на которую он опирается (см. рис. 17).

Рис. 17. Градусная мера центрального угла  и опорной дуги  равна

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называют вписанным углом. Он тоже опирается на дугу окружности, но явно меньше, чем центральный угол, который опирается на ту же дугу (см. рис. 18).

Рис. 18. Вписанный угол  меньше центрального угла  ( – опорная дуга для обоих)

Попробуем связать величину вписанного угла и дуги, на которую он опирается. Возможны три случая:

  1. центр окружности лежит на стороне вписанного угла;
  2. центр окружности лежит внутри вписанного угла;
  3. центр окружности лежит вне вписанного угла.

Случай 1.

Итак, пусть сторона  угла проходит через центр окружности . Рассмотрим равнобедренный треугольник : , т. к. это радиусы (см. рис. 19). Значит, .

Рис. 19. Центр окружности  лежит на стороне  угла

Кроме того, центральный угол , как мы знаем, равен дуге . Но  – внешний угол треугольника , а значит, он равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, т. е. , откуда .

Итак, вписанный угол  равен половине центрального угла , а значит, половине дуги , на которую он опирается.

 

Случай 2.

Рассмотрим случай, когда центр окружности  находится внутри угла . Проведем диаметр  (см. рис. 20).

Рис. 20. Центр окружности  находится внутри угла

Мы свели задачу к предыдущей: вписанный угол равен сумме двух вписанных углов, у каждого из которых одна из сторон проходит через центр окружности: . Тогда  равен половине дуги , а  равен половине дуги .

Откуда весь  равен половине дуги .

 

Случай 3.

Центр окружности лежит вне треугольника. Рассмотрите этот случай самостоятельно. Тут тоже нужно провести диаметр  и рассмотреть вписанный угол как разность двух вписанных углов, стороны которых проходят через центр:  (см. рис. 21).

.

Рис. 21. Центр окружности  лежит вне угла

Итак, вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, и половине центрального угла, опирающегося на одну с ним дугу.

Сразу можно сформулировать следствие из этого утверждения: если вписанный угол опирается на диаметр, то он прямой (т. к. диаметр отсекает дугу, соответствующую развернутому углу – ) (см. рис. 22).

Рис. 22. Прямой угол , опирающийся на диаметр

На одну и ту же дугу может опираться только один центральный угол (по сути, это эквивалентные объекты: центральный угол и дуга, на которую он опирается, они друг друга однозначно определяют). А вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу, можно нарисовать бесконечно много. Но, как мы только что доказали, вписанный угол всегда равен половине дуги, на которую он опирается. Значит, вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

Раз есть вписанный угол, то есть и описанный угол. Несложно догадаться, как он будет выглядеть (см. рис. 23).

Рис. 23. Описанный угол

И здесь мы уже многое знаем, осталось это только систематизировать.

Мы уже доказывали, что треугольники  и  равны по катету и гипотенузе. Значит, равны не только отрезки касательных (), но и . Значит,  – биссектриса угла  (см. рис. 24).

Рис. 24.  – биссектриса угла

Итак, центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Свойства описанных и вписанных в треугольник окружностей

Зачем мы рассматривали все эти свойства? Это наши инструменты, которые мы будем использовать для рассмотрения взаимного расположения окружности и многоугольников. Начнем с треугольников, про которые мы уже многое знаем.

Вспомним: если все три вершины треугольника лежат на окружности, то такой треугольник называется вписанным в окружность, а окружность называется описанной около треугольника (см. рис. 25).

Рис. 25. Треугольник  вписан в окружность, соответственно, окружность описана около треугольника

Всегда ли в окружность можно вписать треугольник? Конечно, причем бесконечно много – достаточно выбрать любые три точки на окружности и соединить их отрезками.

Интереснее обратная ситуация. Всегда ли вокруг треугольника можно описать окружность? Мы уже знаем, что да.

Вспомним, как это сделать. Предположим, что нам удалось построить описанную окружность. Сторона  – хорда. Но тогда центр лежит на серединном перпендикуляре к ней. Точно так же и  – хорда. Значит, центр лежит на серединном перпендикуляре к , т. е. точка  лежит на пересечении перпендикуляров  и  (см. рис. 26).

Рис. 26. Точка  лежит на пересечении двух серединных перпендикуляров

Т. к. точка  лежит на серединном перпендикуляре к , то она равноудалена от  и  ( по свойству серединного перпендикуляра). Далее, она лежит на серединном перпендикуляре к , значит, она равноудалена от  и  . А следовательно, она равноудалена от  и  , т. е. серединный перпендикуляр к  тоже проходит через точку .

Только что мы доказали, что в любом треугольнике серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке. И, как мы уже знаем, эта точка будет центром описанной окружности, т. к. расстояния от нее до всех трех вершин треугольника равны.

Итак:

  1. вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну;
  2. все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке;
  3. эта точка является центром описанной около треугольника окружности.

Мы уже обсуждали, что центр описанной окружности в разных треугольниках располагается по-разному. Для остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников центры описанной окружности располагаются по-разному относительно самого треугольника. Сформулируйте, где находятся эти центры, для всех трех типов (см. рис. 27).

Рис. 27. Возможные расположения центров описанных окружностей


Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника

В остроугольном треугольнике центр описанной окружности всегда лежит внутри треугольника, в тупоугольном треугольнике – всегда вне треугольника. А для прямоугольного треугольника – на гипотенузе, точнее в середине гипотенузы.

Почему так? Если вспомнить, что прямоугольный треугольник – это половина прямоугольника, то понятно. Но докажем этот факт строго. Проведем серединный перпендикуляр к катету  и докажем, что он проходит через середину гипотенузы  (см. рис. 28).

Рис. 28. В прямоугольном треугольнике проведен серединный перпендикуляр к катету

Для этого нам пригодится теорема Фалеса (параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки): серединный перпендикуляр  параллелен  (т. к. обе прямые перпендикулярны ). А значит,  и  отсекают на сторонах угла  пропорциональные отрезки. Т. к.  – середина , то и  – середина . Аналогично доказывается, что серединный перпендикуляр к  также проходит через середину гипотенузы.


 

Теперь вспомним определение вписанной окружности: это окружность, которая касается каждой из сторон треугольника. При этом треугольник называется описанным вокруг этой окружности (см. рис. 29).

Рис. 29. Треугольник  описан вокруг окружности

Вокруг любой окружности можно описать бесконечно много треугольников (см. рис. 30).

Рис. 30. Вокруг любой окружности можно описать бесконечно много треугольников

Нас опять будет интересовать обратный вопрос: в любой ли треугольник можно вписать окружность? Если окружность вписана в треугольник, значит, она вписана в каждый из его углов. А раз так, то ее центр лежит на пересечении трех биссектрис. А всегда ли три биссектрисы пересекаются в одной точке? Проведем такое же рассуждение, как и для серединных перпендикуляров (см. рис. 31).

Рис. 31.  – биссектрисы углов

Каждая точка биссектрисы угла  равноудалена от сторон треугольника  и . Каждая точка биссектрисы угла  равноудалена от  и . Точка их пересечения равноудалена от всех трех сторон. Но тогда она принадлежит третьей биссектрисе. Расстояние от этой точки до всех трех сторон одинаково. Следовательно, окружность с таким радиусом и центром в этой точке будет вписанной в треугольник (см. рис. 32).

Рис. 32.Точка пересечения биссектрис углов треугольника является центром вписанной в треугольник окружности

Итак:

  1. в любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну;
  2. все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке;
  3. точка пересечения биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности.

В отличие от описанной окружности центр вписанной окружности всегда лежит внутри треугольника, независимо от его вида (см. рис. 33).

Рис. 33. Центр вписанной окружности всегда лежит внутри треугольника

Признаки описанных и вписанных четырехугольников

Итак, для любого треугольника можно построить две окружности  – описанную и вписанную. Радиусы таких окружностей обычно обозначают  для описанной и  для вписанной.

Почти у всех треугольников центры этих окружностей не совпадают. Подумайте, каким свойством должен обладать треугольник, чтобы эти центры совпали.

Мы начали урок с того, что из всех многоугольников только треугольники обладают замечательным свойством: в любой треугольник можно вписать и вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Кроме треугольников, мы будем уделять достаточно большое внимание четырехугольникам (они тоже часто встречаются при решении различных практических задач, поэтому их свойства нам будут полезны). Но в прямоугольник, который не является квадратом, окружность не впишешь. А вокруг ромба, который не является квадратом, ее не опишешь.

Можно ли сформулировать какие-то свойства, которыми должен обладать четырехугольник, чтобы в него можно было вписать или вокруг него можно было бы описать окружность?

Начнем с признака вписанного четырехугольника. Итак, пусть  – вписанный в окружность четырехугольник (см. рис. 34).

Рис. 34. Вписанный в окружность четырехугольник

Посмотрим на его противоположные углы, например  и . Угол  – вписанный и опирается на дугу  (т. е. ). Угол  – на дополнительную дугу  .

Сумма этих дуг – вся окружность, т. е. . Т. к. вписанные углы равны половине дуги, на которую опираются, то . Аналогично доказывается, что .

Мы доказали, что если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов должна равняться .

Верно ли обратное утверждение? Если у четырехугольника сумма противоположных углов равна , обязательно ли вокруг него можно описать окружность? Оказывается, да. Строго это утверждение мы докажем позже.

Сейчас же для нас важен факт: сумма противоположных углов равна  – это эквивалентное определение описанного четырехугольника. И мы можем этот факт использовать.

Вспомним ромб (который не является квадратом). У него два противоположных угла острые, т. е. их сумма меньше , а два других – тупые, т. е. их сумма больше . Ромб не удовлетворяет признаку вписанного четырехугольника – и мы не можем вокруг него описать окружность.

Ответьте самостоятельно, являются ли квадрат и произвольный прямоугольник вписанными четырехугольниками, удовлетворяют ли они признаку вписанного четырехугольника.

Итак, предположим, у нас есть четырехугольник. Мы проверили его на признак вписанного, и он таковым и оказался. Т. е. мы понимаем, что вокруг него можно описать окружность. И сразу вопрос: где ее центр, каков радиус, как ее построить? И тут как раз и нужно вспомнить про треугольники – кирпичики, из которых складываются все многоугольники.

Проведем любую диагональ. Получили два треугольника. Каждый из них вписан в ту же окружность (см. рис. 35).

Рис. 35. Треугольники  и  вписаны в ту же окружность, что и четырехугольник

Значит, нужно построить окружность, описанную около одного из этих треугольников. Четвертой вершине «некуда деваться» – она будет лежать на этой же окружности.

Теперь поговорим о признаке описанного четырехугольника.

Итак, пусть четырехугольник  – описанный, т. е. в него вписана окружность (см. рис. 36).

Рис. 36. Окружность вписана в четырехугольник

Каждая сторона четырехугольника  делится на две части точками касания . Эти части не обязательно равны. Но отрезки касательных, проведенные из одной вершины, равны. Мы это сегодня доказали. У нас получается  отрезков, пары которых равны, отметим их (см. рис. 37).

Рис. 37.  пары равных отрезков:

Рассмотрим пару противоположных сторон  и . Они состоят из отрезков всех  длин: . Вторая пара противоположных сторон  и  тоже состоит из  таких же отрезков: . Очевидно, суммы длин таких сторон равны: .

Итак, если четырехугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Верно ли обратное утверждение? Пусть у нас есть четырехугольник, суммы длин противоположных сторон которого равны. Можно ли в него вписать окружность? Оказывается, да. Строгое доказательство – ниже.

 


Доказательство

Воспользуемся методом от противного. Пусть для четырехугольника  выполняется условие: . Проведем биссектрисы углов  и , а точку  обозначим как точку их пересечения.

Рис. 38. В четырехугольнике  провели биссектрисы углов  и , которые пересекаются в точке

Точка  равноудалена от сторон  и , а также от сторон  и . Значит, точка  равноудалена от трех сторон ,  и , поэтому мы можем построить окружность с центром в , касающуюся этих трех сторон четырехугольника .

Рис. 39. Окружность с центром в точке  касается трех сторон четырехугольника:,  и

Пусть эта окружность не касается стороны . Для определенности можно считать, что она не пересекает сторону . Проведем через  прямую, касающуюся этой окружности, и обозначим через  ее точку пересечения с . Имеем два четырехугольника –  и , в каждом из которых суммы противоположных сторон равны. В первом – по условию теоремы, во втором – потому, что он описанный.

Рис. 40. Четырехугольники  и , в каждом из которых суммы противоположных сторон равны

Запишем оба эти равенства:

Вычтем второе равенство из первого:

Т. к.  (по построению), то:

 

Отсюда:

Последнее равенство означает, что точки ,  и  лежат на одной прямой, т. к. в противном случае оно противоречилобы неравенству треугольника (длина стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон).

Значит, точки  и  совпадают, а четырехугольник  является описанным.


 

Итак, эквивалентное определение описанного четырехугольника – четырехугольник, у которого суммы длин противоположных сторон равны.

Т. к. окружность вписана в каждый угол четырехугольника, то центр лежит на биссектрисе каждого угла, т. е. является точкой их пересечения.

Чтобы построить вписанную окружность, нужно пересечь любые две биссектрисы – так мы найдем центр окружности.

Рис. 41. Для построения вписанной окружности нужно пересечь две любые биссектрисы

Биссектрисы оставшихся углов в силу доказанного признака также пересекутся в этой точке.

 

Заключение

Рассмотренными сегодня инструментами – свойствами окружностей, вписанными и описанными около треугольников окружностями, а также признаками вписанного и описанного четырехугольника – мы будем часто пользоваться для решения различных задач.

 

Список литературы

  1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия. 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2014
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия. 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2017
  3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия. 8 класс. Учебник. – М.: «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал «shkolkovo.net» (Источник)
  2. Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)
  3. Интернет-портал «ege-study.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

  1.  – диаметр окружности с центром в точке . Найти градусную меру угла , если известно, что точка  лежит на окружности, а , где  – радиус описанной окружности.
  2. Три последовательные стороны описанного четырехугольника относятся как . Его периметр равен . Найти длины сторон четырехугольника.
  3.  и  – касательные к окружности с центром в точке  (точки  и  лежат на окружности). Известно, что , где  – диаметр окружности, а . Найти длину .