Пример 4. Через данную точку внутри угла проведите прямую, отрезок которой, заключенный внутри этого угла, делился бы данной точкой пополам.

Решение. Внутри угла с вершиной дана точка . Изобразим это на Рис. 20 со всеми элементами, которые понадобятся нам для решения задачи.

Рис. 20

Отложим отрезок из точки через точку так, чтобы , затем проведем отрезки , получим точки пересечения со сторонами угла и соответственно. Соединим эти точки прямой, она и будет искомой. Докажем это.

Построенная фигура является параллелограммом, т.к. по построению имеет параллельные противоположные стороны, отрезки являются диагоналями параллелограмма, следовательно, по его свойству точкой пересечения () делятся пополам и , что и требовалось по условию задачи.

Ответ. Искомая прямая – .

Пример 5. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей стороны. Периметр прямоугольника равен 56 см. Найдите стороны прямоугольника.

Решение. Изобразим Рис. 21.

Рис. 21

Опустим из точки пересечения диагоналей перпендикуляры на стороны, длины которых и будут расстояниями от точки пересечения диагоналей до сторон прямоугольника. Обозначим отрезок , тогда по условию . Поскольку получаем, что . Подставим это в формулу периметра прямоугольника:

.

Ответ: .

Сегодня мы повторили и закрепили знания по теме «четырехугольники». На следующем уроке мы поговорим о симметрии в четырехугольниках.

Список литературы

Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Problems.ru (Источник).
Oldskola1.narod.ru (Источник).
Pedsovet.su (Источник).

Домашнее задание

Стр. 55-59: № 49-58 (по одному любому пункту). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Определить углы ромба.
В прямоугольном треугольнике прямой угол разделён пополам; из точки пересечения биссектрисы и гипотенузы проведены прямые, параллельные катетам. Доказать, что четырёхугольник, образованный этими прямыми и катетами, есть квадрат.
Боковая сторона трапеции разделена на 4 равные части, и через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям трапеции. Найти длины отрезков этих параллельных прямых, заключённых между боковыми сторонами трапеции, если основания трапеции равны 23 см и 15 см.
Построить квадрат по диагонали.