Перейдем теперь к задачам с частными случаями прямоугольников. Вспомним, какие виды четырехугольников мы с вами знаем (см. рис. 6). Начнем с задач на параллелограмм.

Рис. 6. Классификация четырехугольников

Задача 3. Найти углы параллелограмма, если один из его углов меньше другого в раза.

Решение

Такую задачу невозможно было бы однозначно решить для произвольного четырехугольника. Но мы знаем, что в параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме равны . Очевидно, здесь речь идет о неравных, т. е. смежных углах.

Меньший угол обозначаем как , в четыре раза больший угол как (см. рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 3

Тогда:

Это меньший угол, а больший угол равен:

Ответ: .

Задача 4. Как расположены биссектрисы параллелограмма?

Решение

Рассмотрим сначала две биссектрисы смежных (соседних) углов. Они пересекутся в точке (см. рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 4

Сумма смежных углов параллелограмма равна :

Значит, сумма их половин равна :

Следовательно, третий угол треугольника равен:

Т. е. угол прямой.

Таким образом, биссектрисы смежных углов параллелограмма перпендикулярны друг другу (см. рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к задаче 4

Но если биссектриса угла перпендикулярна биссектрисе угла и биссектриса угла перпендикулярна биссектрисе угла , то биссектрисы углов и параллельны (см. рис. 10) (как прямые, перпендикулярные одной прямой – признак параллельности). Из этого следует, что биссектрисы противоположных углов параллельны друг другу.

Рис. 10. Иллюстрация к задаче 4

В частном случае они могут совпасть. Ответьте, что нужно дополнительно потребовать от параллелограмма, чтобы это произошло?

Ответ: биссектрисы смежных углов параллелограмма перпендикулярны друг другу; биссектрисы противоположных углов – параллельны.

Задача 5. Найти периметр параллелограмма, если биссектриса делит сторону параллелограмма на отрезки и см (см. рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к задаче 5

Решение

Биссектриса делит угол на два равных угла и (см. рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к задаче 5

Углы как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых – противоположных сторонах параллелограмма (см. рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к задаче 5

Значит, углы , следовательно, треугольник, который биссектриса отсекает от параллелограмма, равнобедренный (см. рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к задаче 5

Тогда, в нашем случае, вторая сторона равна (см. рис. 15), а периметр равен:

см

Рис. 15. Иллюстрация к задаче 5

Возможен и другой вариант – вторая сторона равна (см. рис. 16), а периметр равен:

см

Рис. 16. Иллюстрация к задаче 5

Полезным фактом в этой задаче является то, что биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник.

Ответ: см; см.

Задача 6. Построить параллелограмм по двум смежным сторонам и соединяющей их диагонали.

Решение

Проведем анализ. Допустим, параллелограмм построен (см. рис. 17).

Рис. 17. Иллюстрация к задаче 6

Стороны треугольника являются данными в условии отрезками. Значит, сначала надо построить треугольника по трем сторонам, а затем на стороне построить ему равный треугольник.

Выполним построение. Построим треугольник со сторонами, равными данным отрезкам (см. рис. 18, 19). На стороне построим равный треугольник так, чтобы , (см. рис. 20).

Рис. 18. Иллюстрация к задаче 6

Рис. 19. Иллюстрация к задаче 6

Рис.20. Иллюстрация к задаче 6

Как выполнить эти построения? Например, построить отрезок , равный одному из данных в условии отрезков (стороне параллелограмма). Затем построить две окружности с центрами в точках и и радиусами, равными второй стороне и диагонали соответственно. Они пересекутся в двух точках (нас будет интересовать любая из них – второй случай будет таким же, с точностью до симметрии). После этого мы получим треугольник (см. рис. 21). Его стороны действительно равны сторонам из условия.

Рис. 21. Иллюстрация к задаче 6

А дальше нужно построить две окружности – одну с центром в точке и радиусом , а вторую – с центром в точке и радиусом . Одна из полученных точек пересечения и будет искомой точкой (см. рис. 22).

Рис. 22. Иллюстрация к задаче 6

Теперь нужно доказать, что построенный четырехугольник – параллелограмм.

Но у этого четырехугольника противоположные стороны попарно равны. Это признак параллелограмма.

Последний шаг в алгоритме построения – это исследование на количество решений. Очевидно, что можно подобрать исходные отрезки таким образом, чтобы они не подчинялись неравенству треугольника – сумма двух сторон всегда больше третьей (см. рис. 23). В этом случае невозможно построить треугольник, а следовательно, и параллелограмм.

Рис. 23. Иллюстрация к задаче 6

Если же три отрезка удовлетворяют неравенству треугольника, то треугольник строится однозначно и на отрезке треугольник тоже строится однозначно.

Следовательно, задача в этом случае имеет единственное решение.

Задача 7. Определить вид параллелограмма, у которого равны диагонали (см. рис. 24).

Рис. 24. Иллюстрация к задаче 7

Решение

Мы знаем, что у прямоугольника диагонали равны, т. е. это его свойство. Работает ли оно в обратную сторону? Судя по рисунку, да. Давайте докажем, что это в самом деле так.

Т. к. по условию перед нами параллелограмм, то его противоположные стороны равны:

Кроме того, по дополнительному условию, равны и диагонали:

Тогда треугольники и равны по третьему признаку:

стороны ;
стороны ;
сторона общая.

Из равенства треугольников следует равенство углов:

Итак, смежные углы равны, но противоположные тоже равны, как в любом параллелограмме:

Т. е. все четыре угла равны:

Следовательно, они все прямые:

Перед нами прямоугольник (см. рис. 25).

Рис. 25. Иллюстрация к задаче 7

Ответ: прямоугольник

Условие задачи 7 можно сформулировать в виде признака прямоугольника: если в параллелограмме диагонали равны, то он является прямоугольником.

Задача 8. Определить вид параллелограмма, если диагональ делит его угол пополам.

Решение

Рассмотрим параллелограмм . Пусть диагональ делит угол пополам (см. рис. 26).

Рис. 26. Иллюстрация к задаче 8

Т. е.:

Но углы как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых.

Следовательно:

Тогда треугольник равнобедренный и (см. рис. 27). Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом.

Рис. 27. Иллюстрация к задаче 8

Ответ: ромб.

Задача 9. Доказать, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.

Доказательство

Диагональ делит ромб на два равных равнобедренных треугольника. Из этого следует, что диагональ ромба является биссектрисой его двух углов (см. рис. 28).

Рис. 28. Иллюстрация к задаче 9

Все точки биссектрисы угла равноудалены от сторон угла (вспомним, что биссектриса – ГМТ, равноудаленных от сторон угла).

Точка принадлежит биссектрисе , следовательно, она равноудалена от сторон и (см. рис. 29):

Рис. 29. Иллюстрация к задаче 9

Но точка принадлежит и , значит, она равноудалена от и (см. рис. 30):

Рис. 30. Иллюстрация к задаче 9

Таким образом:

Несложно видеть, что она удалена на одно расстояние от всех сторон (см. рис. 31). Аналогично:

Рис. 31. Иллюстрация к задаче 9

Таким образом, мы еще раз доказали, что точка пересечения диагоналей ромба – это центр его вписанной окружности (см. рис. 32).

Рис. 32. Иллюстрация к задаче 9

Доказано.