Тема: Четырехугольники
Урок: Прямоугольник
1. Определение и свойство прямоугольника
Введем определение прямоугольника.
Определение. Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые (см. Рис. 1).
Рис. 1. Прямоугольник
Замечание. Очевидным эквивалентным определением прямоугольника (иногда его именуют признаком прямоугольника) можно назвать следующее. Прямоугольник – это параллелограмм с одним углом 
. Это утверждение практически очевидно, и мы оставим его без доказательства, пользуясь далее как определением.
Т.к. прямоугольник, как это видно из определения, является частным случаем параллелограмма, то ему присущи все ранее описанные свойства параллелограмма, однако у него имеются и свои специфические свойства, которые мы сейчас рассмотрим.
Теорема 1. Свойство прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны.
Доказательство. Изобразим на Рис. 2 прямоугольник (как и у параллелограмма, противоположные стороны равны и параллельны). Все углы прямые. Необходимо доказать, что диагонали 
.
Рис. 2
Рассмотрим для доказательства прямоугольные треугольники, в которых присутствуют указанные диагонали 
и 
:
прямоугольные треугольники 
по двум катетам. Следовательно, равны и гипотенузы треугольников , что и требовалось доказать.
Доказано.
Обратим внимание, что это свойство специфическое и относится только к прямоугольнику, ко всем остальным параллелограммам оно не относится.
2. Признак прямоугольника
Теорема 2. Признак прямоугольника. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.
Доказательство. Изобразим Рис. 3. Нам необходимо доказать, что изображенный параллелограмм с двумя равными диагоналями – прямоугольник, т.е. имеет прямой угол.
Рис. 3
Поскольку 
– параллелограмм, то можем воспользоваться его свойством: 
. Кроме этого, – по трем сторонам (
), следовательно, 
. Тогда имеем:
прямоугольник, что и требовалось доказать.
Доказано.
3. Разные задачи на прямоугольники
Рассмотрим примеры.
Пример 1. В прямоугольнике диагонали пересекаются в точке 
. Найдите периметр треугольника 
, если 
.
Решение. Изобразим Рис. 4.
Рис. 4
Сначала будем искать стороны указанного треугольника: 
(
по свойству диагоналей в любом параллелограмме). Но в прямоугольнике диагонали равны 
.
Т.к. угол 
.
Рассмотрим треугольник 
: 
(аналогично углу 
), 
равносторонний. Следовательно, его периметр 
.
Ответ: 18 см.
Пример 2. Найдите периметр прямоугольника , если биссектриса угла 
делит сторону 
на отрезки 2 см и 3 см.
Рис. 5 (а), рис. 5 (б)
Решение. Сразу же стоит заметить, что это пример задачи на два варианта решения, наличие которых еще надо заметить. «Изюминка» условия задачи заключается в том, что не указано, в каком именно порядке расположены отрезки, на которые биссектриса прямоугольника разбивает его сторону. В результате имеем два варианта рисунков 5 (а, б).
Т.к. 
– биссектриса, то 
, кроме того, 
– как накрест лежащие углы при параллельных прямых, следовательно, 
равнобедренный, а из этого следует, что 
.
Далее разобьем решение на две части, в каждой из которых рассмотрим отдельный случай.
А. Рис. 5 (а). 
. Сторона прямоугольника 
(для обоих случаев). Периметр прямоугольника 
.
Б. Рис. 5 (б). 
. Периметр прямоугольника 
.
Ответ: 
.
Пример 3. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Доказательство. Изобразим Рис. 6.
Рис. 6
Необходимо доказать, что 
. Между прочим, это свойство медианы в прямоугольном треугольнике уже использовалось нами ранее, сейчас мы докажем его, используя свойства прямоугольника.
Продлим медиану 
на ее длину, расстояние до точки 
: 
. Мы получили четырехугольник . В нем 
и 
диагонали, и для него мы можем указать следующие факты:
параллелограмм по третьему признаку. Кроме того, известно, что в нем 
прямоугольник (по указанному вначале урока определению – признаку прямоугольника).
По свойству прямоугольника можно указать, что у него равны диагонали, а следовательно, равны и их половинки, т.е. получаем 
, что и требовалось доказать.
Доказано.
Пример 4. (обратная задача). В треугольнике 
медиана . Докажите, что 
.
Доказательство. Изобразим Рис. 7 и обозначим на нем углы 
.
Рис. 7
Рассмотрим 
, он равнобедренный (
по условию) ⇒ 
.
Рассмотрим 
, он также равнобедренный (
по условию) ⇒ 
.
Запишем сумму углов треугольника 
: 
. Но угол 
что и требовалось доказать.
Доказано.
4. Задачи с прямоугольниками, вписанными в треугольники
Пример 5. В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Найдите периметр прямоугольника.
Решение. Изобразим Рис. 8. Ясно, что можно построить множество различных прямоугольников, вписанных в прямоугольный треугольник, но выясняется, что их периметры будут одинаковы, покажем это и найдем искомый периметр.
Рис. 8
По условию 
равнобедренный 
.
Искомый периметр прямоугольника: 
.
Рассмотрим прямоугольный 
: 
.
Тогда периметр прямоугольника 
: 
.
Ответ: 12 см.
Пример 6. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие – на катетах. Чему равны стороны и периметр прямоугольника, если известно, что они относятся как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45 см?
Решение. Изобразим Рис. 9 и укажем на нем все элементы, которые мы введем в процессе решения задачи.
Рис. 9
По условию равнобедренный и прямоугольный .
Указано, что вписанный прямоугольник имеет заданные пропорции, поэтому его стороны можно ввести, как определенное количество неизвестных нам частей 
: 
.
Рассмотрим треугольники и 
– они прямоугольные и имеют по одному углу 
, следовательно, второй угол у них тоже по (см. решение предыдущей задачи), т.е. они равнобедренные, и 
.
Теперь можем выписать длину гипотенузы как сумму длин отрезков, на которые она разбита вписанным прямоугольником (через те части , которые мы ввели): 
.
Теперь можем посчитать длины сторон прямоугольника и его периметр: 
.
Ответ: стороны равны 
.
Сегодня мы рассмотрели прямоугольник, его свойства, признаки и задачи на прямоугольник. На следующем уроке мы познакомимся с такими частными случаями параллелограмма, как ромб и квадрат.
Список литературы
- Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Стр. 57, 58: № 53, 54. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
- В прямоугольнике диагональ образует со стороной угол, равный
. Определить угол между диагоналями, обращенный к меньшей стороне. - В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей стороны. Периметр этого прямоугольника равен 56 см. Определить его стороны.
- Построить прямоугольник по основанию, равному 2,4 см, и диагонали, равной 3,1 см.
