Рассмотрим примеры.

Пример 1. В прямоугольнике диагонали пересекаются в точке . Найдите периметр треугольника , если .

Решение. Изобразим Рис. 4.

Рис. 4

Сначала будем искать стороны указанного треугольника: ( по свойству диагоналей в любом параллелограмме). Но в прямоугольнике диагонали равны .

Т.к. угол .

Рассмотрим треугольник : (аналогично углу ), равносторонний. Следовательно, его периметр .

Ответ: 18 см.

Пример 2. Найдите периметр прямоугольника , если биссектриса угла делит сторону на отрезки 2 см и 3 см.

Рис. 5 (а), рис. 5 (б)

Решение. Сразу же стоит заметить, что это пример задачи на два варианта решения, наличие которых еще надо заметить. «Изюминка» условия задачи заключается в том, что не указано, в каком именно порядке расположены отрезки, на которые биссектриса прямоугольника разбивает его сторону. В результате имеем два варианта рисунков 5 (а, б).

Т.к. – биссектриса, то , кроме того, – как накрест лежащие углы при параллельных прямых, следовательно, равнобедренный, а из этого следует, что .

Далее разобьем решение на две части, в каждой из которых рассмотрим отдельный случай.

А. Рис. 5 (а). . Сторона прямоугольника (для обоих случаев). Периметр прямоугольника .

Б. Рис. 5 (б). . Периметр прямоугольника .

Ответ: .

Пример 3. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство. Изобразим Рис. 6.

Рис. 6

Необходимо доказать, что . Между прочим, это свойство медианы в прямоугольном треугольнике уже использовалось нами ранее, сейчас мы докажем его, используя свойства прямоугольника.

Продлим медиану на ее длину, расстояние до точки : . Мы получили четырехугольник . В нем и диагонали, и для него мы можем указать следующие факты:

параллелограмм по третьему признаку. Кроме того, известно, что в нем прямоугольник (по указанному вначале урока определению – признаку прямоугольника).

По свойству прямоугольника можно указать, что у него равны диагонали, а следовательно, равны и их половинки, т.е. получаем , что и требовалось доказать.

Доказано.

Пример 4. (обратная задача). В треугольнике медиана . Докажите, что .

Доказательство. Изобразим Рис. 7 и обозначим на нем углы .

Рис. 7

Рассмотрим , он равнобедренный ( по условию) ⇒ .

Рассмотрим , он также равнобедренный ( по условию) ⇒ .

Запишем сумму углов треугольника : . Но угол что и требовалось доказать.

Доказано.