Тема: Четырехугольники
Урок: Решение задач по теме «Параллелограмм и трапеция»
1. Повторение свойств и признаков параллелограмма
Очевидно, что для решения задач на тему «Параллелограмм и трапеция», необходимо повторить основные понятия, связанные с этими фигурами. Вспомним их свойства и признаки.
Рассмотрим сначала параллелограмм.
Определение. Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 1).
Рис. 1. Параллелограмм
Основные свойства параллелограмма:
Чтобы иметь возможность при решении задач пользоваться указанными свойствами, нам необходимо понимать, является ли указанный четырехугольник параллелограммом или нет. Для этого необходимо знать признаки параллелограмма.
Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны (см. Рис. 2), то этот четырехугольник – параллелограмм. 
параллелограмм.
Рис. 2. Первый признак параллелограмма
Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны (см. Рис. 3), то этот четырехугольник – параллелограмм. 
параллелограмм.
Рис. 3. Второй признак параллелограмма
Теорема. Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам (см. Рис. 4), то этот четырехугольник – параллелограмм. 
параллелограмм.
Рис. 4. Третий признак параллелограмма
2. Повторение свойств равнобедренной трапеции
Теперь рассмотрим такую фигуру, как трапеция. Отдельным ее видом является равнобедренная трапеция, имеющая важные свойства.
Определение. Равнобедренная трапеция – это трапеция, в которой боковые стороны равны (см. Рис. 5).
Рис. 5. Равнобедренная трапеция
Теперь сформулируем одновременно свойства и признаки равнобедренной трапеции в виде необходимого и достаточного условия.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции. Трапеция 
равнобедренная (см. Рис. 6) тогда и только тогда, когда:
а) 
– углы при основании равны;
б) 
– диагонали равны.
Рис. 6. Свойства и признаки равнобедренной трапеции
3. Задача на параллелограмм
Рассмотрим примеры решения задач.
Пример 1. Из вершин 
и 
параллелограмма 
, у которого 
и угол 
острый, проведены перпендикуляры 
и 
к прямой 
. Докажите, что четырехугольник 
– параллелограмм.
Доказательство. Выполним Рис. 7.
Рассмотрим треугольники 
и 
:
– по острому углу и гипотенузе
Рис. 7
Перейдем к доказательству того, что – параллелограмм:
– параллелограмм по первому признаку параллелограмма, что и требовалось доказать.
Доказано.
4. Задачи на построение
Пример 2. Постройте параллелограмм по двум смежным сторонам и углу между ними.
Решение. Нам известны следующие данные: длины двух отрезков (
и 
) и величина угла (
(см. Рис. 8).
Рис. 8
Все задачи на построение предполагают наличие нескольких стандартных этапов:
– анализ (план построения);
– построение (процесс построения);
– доказательство (доказательство того, что построена искомая фигура);
– исследование (доказательство того, что искомую фигуру возможно построить всегда, и притом только одну).
Проведем наши рассуждения в указанной последовательности:
Анализ. Предположим, что искомый параллелограмм построен (см. Рис. 9).
Рис. 9
В нем обратим внимание на треугольник 
, в котором две стороны ( и ) и угол ( являются указанными в условии задачи. Если построен данный треугольник, то его достаточно будет достроить до параллелограмма, и построение будет закончено. Будем пользоваться этим далее, как планом.
Построение. Согласно намеченному в анализе плану построения, необходимо следовать следующему порядку действий:
1. Построить по углу 
и прилежащим сторонам 
и 
, что является стандартной задачей, с которой мы уже знакомы и умеем выполнить такое построение.
2. Достроить треугольник до параллелограмма 
, проведя 
, 
, где точка 
(см. Рис. 10).
Рис. 10
Доказательство. На данном этапе требуется доказать, является ли построенный четырехугольник искомым параллелограммом.
Сначала докажем, что построенная фигура – параллелограмм:
Т.к. , по построению, то – параллелограмм по определению.
Теперь укажем, что данный параллелограмм является искомым:
В нем , и 
– искомый параллелограмм.
Исследование. На данном заключительном этапе мы обязаны доказать, что построенный параллелограмм является единственным, и указать, всегда ли его можно построить.
В нашем случае мы можем указать следующие факты:
1. При любых фиксированных 
существует единственный со сторонами , и углом между ними.
2. Существует единственная пара прямых , , т.е. единственная 4-я вершина параллелограмма , которая является точкой .
Можем сделать вывод: искомый параллелограмм существует и единственен при любых .
Построено.
Пример 3. Постройте прямоугольную трапецию по основаниям и боковой стороне 
, перпендикулярной к основаниям.
Решение. Проведем построение искомой фигуры аналогично предыдущему примеру, но уже в сокращенной форме.
Известны следующие данные: длины двух оснований ( и , 
) и высота трапеции (
) (см. Рис. 11).
Рис. 11
Строим отрезок и от него проводим два перпендикулярных отрезка 
и 
равные по длине и соответственно. Концы этих отрезков 
и 
соединяем и получаем искомую трапецию (см. Рис. 12).
Рис. 12
Указанная трапеция удовлетворяет всем условиям задачи: ее основания равны 
и 
, боковая сторона 
перпендикулярна к основаниям.
Задача имеет единственное решение: существует единственный треугольник прямоугольный 
и единственный прямоугольный треугольник 
с катетами, длины которых равны значениям, указанным в условии. Может возникнуть сомнение в единственности решения, если представить, что при построении трапеции отрезок 
можно отложить в другую сторону. При этом, чтобы сохранить указанную последовательность вершин в трапеции 
, ее следует изобразить, как на Рис. 13. А это не прямоугольная трапеция. Следовательно, наше построение единственно.
Рис. 13
Построено.
5. Задача на трапецию
Пример 4. В трапеции 
проведены биссектрисы углов при вершинах 
. Найти угол между биссектрисами.
Решение. Интересно, что условие задачи и решение в равной степени подходит и для случая параллелограмма и трапеции. Выполним Рис. 14.
Рис. 14
– биссектрисы, они делят соответствующие углы пополам, обозначим их 
и 
.
По свойству трапеции 
.
Рассмотрим 
: 
.
Ответ. 
.
На сегодняшнем уроке мы рассмотрели несколько примеров на параллелограмм и трапецию, а на следующем уроке мы более глубоко окунемся в эту тему и порешаем более сложные задачи.
Список литературы
- Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Решаем задачи по геометрии (Источник).
- Решаем задачи по геометрии (Источник).
- School-collection.edu.ru (Источник).
Домашнее задание
- № 52 (г, д), 57 (г, з, и, л, м), 58 (г, е, л, м). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
- Середины
и 
параллельных сторон 
и 
параллелограмма соединены прямыми с вершинами 
и 
. Доказать, что эти прямые делят диагональ 
на три равные части. - В равнобедренной трапеции высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки в 6 см и 30 см. Определить основания этой трапеции.
- ∗ Построить параллелограмм, стороны которого даны, если высота, проведённая из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону пополам.
- ∗ Построить равнобедренную трапецию по большему основанию, боковой стороне и углу при большем основании.
