Пример 2. Постройте параллелограмм по двум смежным сторонам и углу между ними.

Решение. Нам известны следующие данные: длины двух отрезков ( и ) и величина угла ( (см. Рис. 8).

Рис. 8

Все задачи на построение предполагают наличие нескольких стандартных этапов:

– анализ (план построения);

– построение (процесс построения);

– доказательство (доказательство того, что построена искомая фигура);

– исследование (доказательство того, что искомую фигуру возможно построить всегда, и притом только одну).

Проведем наши рассуждения в указанной последовательности:

Анализ. Предположим, что искомый параллелограмм построен (см. Рис. 9).

Рис. 9

В нем обратим внимание на треугольник , в котором две стороны ( и ) и угол ( являются указанными в условии задачи. Если построен данный треугольник, то его достаточно будет достроить до параллелограмма, и построение будет закончено. Будем пользоваться этим далее, как планом.

Построение. Согласно намеченному в анализе плану построения, необходимо следовать следующему порядку действий:

1. Построить по углу и прилежащим сторонам и , что является стандартной задачей, с которой мы уже знакомы и умеем выполнить такое построение.

2. Достроить треугольник до параллелограмма , проведя , , где точка (см. Рис. 10).

Рис. 10

Доказательство. На данном этапе требуется доказать, является ли построенный четырехугольник искомым параллелограммом.

Сначала докажем, что построенная фигура – параллелограмм:

Т.к. , по построению, то – параллелограмм по определению.

Теперь укажем, что данный параллелограмм является искомым:

В нем , и – искомый параллелограмм.

Исследование. На данном заключительном этапе мы обязаны доказать, что построенный параллелограмм является единственным, и указать, всегда ли его можно построить.

В нашем случае мы можем указать следующие факты:

1. При любых фиксированных существует единственный со сторонами , и углом между ними.

2. Существует единственная пара прямых , , т.е. единственная 4-я вершина параллелограмма , которая является точкой .

Можем сделать вывод: искомый параллелограмм существует и единственен при любых .

Построено.

Пример 3. Постройте прямоугольную трапецию по основаниям и боковой стороне , перпендикулярной к основаниям.

Решение. Проведем построение искомой фигуры аналогично предыдущему примеру, но уже в сокращенной форме.

Известны следующие данные: длины двух оснований ( и , ) и высота трапеции () (см. Рис. 11).

Рис. 11

Строим отрезок и от него проводим два перпендикулярных отрезка и равные по длине и соответственно. Концы этих отрезков и соединяем и получаем искомую трапецию (см. Рис. 12).

Рис. 12

Указанная трапеция удовлетворяет всем условиям задачи: ее основания равны и , боковая сторона перпендикулярна к основаниям.

Задача имеет единственное решение: существует единственный треугольник прямоугольный и единственный прямоугольный треугольник с катетами, длины которых равны значениям, указанным в условии. Может возникнуть сомнение в единственности решения, если представить, что при построении трапеции отрезок можно отложить в другую сторону. При этом, чтобы сохранить указанную последовательность вершин в трапеции , ее следует изобразить, как на Рис. 13. А это не прямоугольная трапеция. Следовательно, наше построение единственно.

Рис. 13

Построено.